¿Cuales son los valores de la función W de Lambert racionales?

Question

Me refiero a la rama de Lambert-W función cuando es de un solo valor ($W_0$ función): Definido en $x\geq \dfrac{1}{e}$ y por la relación $w = W(x) \iff x = we^{w}$.

Sé que $0$ es uno de los racional de los valores, ya que $W(0)=0$, debido a $0e^{0} = 0$. Me pregunto qué están los demás?

Yo veo aquí (https://cs.uwaterloo.ca/research/tr/1993/03/W.pdf) que puedo escribir $W_0(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n$, entonces es analítica en torno a $0$, y el rango es $[-1,\infty)$, de modo que por el Teorema del Valor Intermedio debe ser infinito, los valores de $W(x)$ es racional, pero no tengo idea de cómo analizar eso.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Además de $W(-e^{-1}) = -1$ y $W(0)=0$, hay infinitamente muchos: si $p$ y $q$ son enteros, entonces $x = (\frac pq) \exp(\frac pq) \implies W(x) = \frac pq$. Esto sigue de la definición de $W(x)$, que $$W(x) \cdot e^{W(x)} = x.$$ Substituting $x # = (\frac pq) \exp (\frac pq)$, $$W(x) e^{W(x)} = \left(\frac pq\right) \exp\left(\frac pq\right). \tag{1}$$ Comparing both sides of $(1)$, clearly $%$$W(x)=\frac pq.$