El siguiente es de Problema 11D en Willard de la topología General del libro de texto.
Supongamos que tenemos alguna noción de convergencia de una serie $X$ la satisfacción de las siguientes propiedades. Fix $x\in X$ y deje $I$ ser un conjunto dirigido.
(a) Si $x_i=x$ por cada $i\in I$, entonces la neta $(x_i)$ converge a $x$.
(b) Si $(x_i)$ converge a $x$, entonces cada subred de $(x_i)$ converge a $x$.
(c) Si cada subred de $(x_i)$ tiene una subred de la convergencia a la $x$, $(x_i)$ converge a $x$.
(d) (Diagonal principio) Si $(x_i)$ converge a $x$ y, para cada una de las $i\in I$, neto $(x^i_j)_{j\in J_i}$ converge a $x_i$, entonces no es una diagonal red convergente a $x$; es decir, la neta $(x^i_j)_{i\in I,\,j\in J_i}$, ordenados lexicográficamente por $I$,$J_i$, tiene una subred que converge a $x$.
Entonces, si el cierre de un subconjunto $E$ $X$ está definido por $$ \overline{E}:=\{x\X \a mediados de x_i\x\ \text{para algunos neto $(x_i)$$E$}\}, $$ el resultado es un espacio topológico en el que la noción de red de convergencia es como el especificado originalmente.
Yo estoy luchando para demostrar que el resultado es un espacio topológico en el que la noción de red de convergencia es como especificado originalmente. Es bastante simple para mostrar que, si la red de $(x_i)_{i\in I}$ converge a $x$ en la idea original, entonces también converge a $x$ en la topología inducida por este concepto original. Ahora, supongamos que tal red converge a $x$ en la inducción de la topología. ¿Cómo puedo demostrar que sin embargo convergen en la idea original?
Desde la idea original es dado "por imposición", sin otras restricciones que (a), (b), (c) y (d), a primera vista parece "imposible" para volver y garantía de la red converge en el sentido original, al menos, no he tenido ninguna idea.
Por ejemplo:
- un directo de la prueba parece que realmente no existe, porque no existe tal condición explícita $\mathscr{C}=\mathscr{C}((x_i)_{i\in I},x)$ si $\scr C$ es verificado por $(x_i)_{i\in I}$$x$, $x_i\to x$ en el primer sentido;
- dicen que tratamos de demostrar por contradicción. Supongamos $x_i\not\to x$ en el sentido original. Esto parece a la falta de información como antes! Bueno, siempre traté de seguir: si $x_i\not\to x$, entonces el conjunto $A=\{x_i\,:\, i\in I\}-\{x\}$ no está cerrado en el resultado de la topología, ya que $x\notin A$ y es evidente que existe una neta en $A$ que converge (en el resultado de la topología, por hipótesis) a $x$. Entonces, ¿qué?
Edit: de Hecho, el "evidente netos en $A$" no es obvio. Ya estamos tomando las $x$$\{x_i:i\in I\}$, tal vez no podemos considerar el conjunto de la red y tienen a excluir a algunos de los índices de $i\in I$ con el fin de obtener una red en A.
Esta pregunta está relacionada pero no equivalente a este uno.
