¿Son todos los problemas de optimización convexos?

Question

Hace poco, un profesor de mi universidad afirmó que todos los problemas de optimización son convexos (tras una transformación adecuada, si es necesario). Es conocido por sus importantes contribuciones a la optimización convexa, así que supongo que su afirmación es correcta. Me gustaría entender por qué es así y si siempre se puede construir explícitamente dicha transformación. Un ejemplo particular que me convenció de que la afirmación es cierta es la optimización basada en momentos (cf. este papel que se encuentra en línea a través de Google). La idea es que los problemas de optimización polinómica de dimensión finita (no convexa) son equivalentes a los problemas de optimización de dimensión infinita (convexa) sobre medidas.

Me gustaría saber hasta qué punto se puede generalizar esta idea. ¿Es posible para programas no lineales generales (no convexos) de dimensión finita? En caso afirmativo, ¿la contraparte convexa será siempre infinitamente dimensional? ¿Y podemos también transformar problemas de optimización no convexos de dimensión infinita en problemas convexos?

PD: Soy consciente de que la afirmación anterior no significaría que los problemas de optimización no convexos fueran de repente más fáciles de resolver. Me interesa esto por razones puramente teóricas.

Edición: Como ya se ha dicho, el artículo de Lasserre utiliza el hecho de que los problemas de optimización polinómica no convexa son equivalentes a los problemas de optimización convexa sobre medidas. Sin embargo, la prueba (corta) de este hecho no hace uso de la naturaleza polinómica de la función objetivo. Creo que esto se puede demostrar para cualquier función objetivo (¿medible/continua?). Esto significaría que cualquier problema de optimización no convexo de dimensión finita es equivalente a un problema de optimización convexo sobre medidas. ¿He pasado algo por alto?

Answer 1

Supongamos que su problema de optimización es

$(P1) \quad \min_{x} f(x)$ tal que $x \in \Omega \qquad$ ,

donde $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua de valor real y $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ es un conjunto compacto. Los supuestos de continuidad de $f$ y la compacidad de $\Omega$ se hacen para garantizar que existe un mínimo ( véase el teorema de Weiertrass ).

Este problema de optimización genérico alcanza el mismo valor óptimo del problema de optimización convexo

$(P2) \quad \min_{x,\alpha} \alpha$ tal que $(x,\alpha) \in \textrm{conv}(\{x\in \Omega, f(x) \le \alpha\})$ ,

donde $\textrm{conv}(S)$ es el casco convexo del conjunto S.

Observación 1 : Como se señala en los comentarios, aunque (P2) tiene el mismo valor óptimo de (P1), puede darse el caso de que los puntos óptimos sean diferentes.

Observación 2 Algunos autores definen de forma diferente lo que es un problema de optimización convexo, precisamente,

$\min_x f(x)$ tal que $ g_i(x) \le 0, i=1,\ldots,m$ y $h_j(x) = 0, j=1,\ldots,k$ , donde $f, g_i$ son funciones convexas y $h_j$ son funciones afines.

Para más detalles, véanse las notas de clase de Amir Ali Ahmadi sobre optimización convexa y cónica, en particular, las páginas 13 y 14 de Clase 4 de 2016.