Derivar las propiedades de los logaritmos de la definición de las $\ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{t}$

Question

Asumiendo la definición de la función logarítmica de la siguiente manera: $$\ln{x}=\int_1^x \frac{dt}{t}$$ Me las arreglé para deducir las fórmulas de los logaritmos como los conocemos: $$\ln(xy)=\int_1^{xy}\frac{dt}{t}=\int_1^x\frac{dt}{t}+\int_x^{xy}\frac{dt}{t}=\int_1^x\frac{dt}{t}+\int_1^y\frac{dt}{t}=\ln x+\ln y$$ Por inducción que podría encontrar, ese $$\forall n\in \Bbb{N}:\ln{(x^n)}=n\ln{x}$$ Me quedé atrapado cuando traté de encontrar ese $\ln{(x^n)}=n\ln{x}$ tiene para todos los verdaderos $n$. Mi idea es la siguiente:

Es fácil comprobar que $\ln'(x)=\frac{1}{x}$. Por Leibniz integral de la regla, podemos encontrar: $$\frac{d}{dx}\ln{x^r}=\frac{d}{dx}\int_1^{x^r}\frac{dt}{t}=\int_1^{x^r}\frac{\partial}{\partial x}\frac{dt}{t}+\frac{1}{x^r}\cdot rx^{r-1}=r\cdot\frac{1}{x}$ $ , Así que cuando me integrar de nuevo, me sale: $$\int r\cdot\frac{1}{x}dx=r\int\frac{1}{x}dx=r\ln{x}$$ Este puede ser tomado como una seria prueba o debería ser el objetivo de encontrar algo más riguroso? Podría usted por favor me dan una pista sobre cómo mostrar que la propiedad $\ln{(x^r)}=r\ln{x}$ tiene para todos los reales $r$?

Answer 1

$\ln(x^{0})=\ln 1=\displaystyle\int_{1}^{1}\dfrac{dt}{t}=0$.

$\ln(x^{-1})=\displaystyle\int_{1}^{x^{-1}}\dfrac{dt}{t}=-\int_{1}^{x}\dfrac{du}{u}=-\ln x$ por sustitución de $u=1/t$.

$\ln(x^{-n})=\ln((x^{n})^{-1})=-\ln(x^{n})=-n\ln x$.

$\ln(x)=\ln((x^{1/q})^{q})=q\ln(x^{1/q})$, lo $\ln(x^{1/q})=1/q\ln(x)$$q\in{\mathbb{N}}$.

$\ln(x^{p/q})=(p/q)\ln x$.

Y por último utilizamos la densidad de ${\mathbb{Q}}$ y la continuidad de la $x\mapsto\displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{dt}{t}$.

Answer 2

$$\ln x^r = \int_1^{x^r}\frac{dt}{t}.$$

Sustituto $s^r = t$, por lo que el $rs^{r-1}ds = dt$:

$$ \ln x^r = \int_1^{x}\frac{rs^{i-1}ds}{s^r} = r\int_1^{x}\frac{ds}{s} = r \ln x. $$

Editar

Por supuesto, esto se basa en la propiedad que $(x^r)' = rx^{r-1}$. Para evitar razonamiento circular, tenemos que derivar esto sin el uso de logaritmos. Para enteros positivos, que se desprende directamente de la expansión binomial que

$$ (x^n)' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = nx^{n-1}. $$ Para exponentes racionales, podemos escribir $$ \left((x^{p/q})^q\ \ derecho)' = (x^p)'. $$ Usando la regla de la cadena, se sigue que $$ q(x^{p/q})^{p-1}(x^{p/q})' = px^{p-1}, $$ así que $$ (x^{p/q})' = (p/q)x^{p/q-1}, $$ y el uso de continuidad, podemos extender esto a $(x^r)' = rx^{r-1}$ real exponentes.