La definición de $I$ como el de la integral definida,
$$I:=
\int\limits_{0}^{1}\left[\frac{\zeta{(2)}-2\log^2{2}}{1-x}-\frac{1}{x(1-x)}\left(2\operatorname{Li}_2{\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)}-\log^2{\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{2}\right)}\right)\right]\mathrm{d}x,$$
probar:
$$I=\frac52\zeta{(3)}-2\zeta{(2)}\log{2}-\frac43\log^3{2}.$$
La sustitución de
$$\xi=\frac{1-\sqrt{1-x}}{2},$$
la integral se convierte en:
$$I=
\int_{0}^{\frac12}\left[4\left(\zeta{(2)}-2\log^2{2}\right)-\frac{1}{\xi(1-\xi)}\left(2\operatorname{Li}_2{(\xi)}-\log^2{(1-\xi)}\right)\right]\frac{\mathrm{d}\xi}{1-2\xi}.$$
Resulta que la derivada de la expresión $2\operatorname{Li}_2{(\xi)}-\log^2{(1-\xi)}$ es mucho más simple que la propia expresión:
$$\frac{d}{d\xi}\left(2\operatorname{Li}_2{(\xi)}-\log^2{(1-\xi)}\right)=-\frac{2(1-2\xi)}{\xi (1-\xi)}\log{(1-\xi)}.$$
Esto sugiere que debemos integrar por partes.
$$\begin{align}
I
&=\int_{0}^{\frac12}\left[4\left(\zeta{(2)}-2\log^2{2}\right)-\frac{1}{\xi(1-\xi)}\left(2\operatorname{Li}_2{(\xi)}-\log^2{(1-\xi)}\right)\right]\frac{\mathrm{d}\xi}{1-2\xi}\\
&=\int_{0}^{\frac12}\left[4\left(\zeta{(2)}-2\log^2{2}\right)\xi(1-\xi)-\left(2\operatorname{Li}_2{(\xi)}-\log^2{(1-\xi)}\right)\right]\frac{\mathrm{d}\xi}{\xi(1-\xi)(1-2\xi)}\\
&=-\int_{0}^{\frac12}\left[4\left(\zeta{(2)}-2\log^2{2}\right)(1-2\xi)+\frac{2(1-2\xi)}{\xi (1-\xi)}\log{(1-\xi)}\right] \log{\frac{\xi(1-\xi)}{(1-2\xi)^2}} \mathrm{d}\xi\\
&=-2\int_{0}^{\frac12}\left[2\left(\zeta{(2)}-2\log^2{2}\right)+\frac{\log{(1-\xi)}}{\xi (1-\xi)}\right] (1-2\xi)\log{\frac{\xi(1-\xi)}{(1-2\xi)^2}} \mathrm{d}\xi\\
&=-4\left(\zeta{(2)}-2\log^2{2}\right)\int_{0}^{\frac12}(1-2\xi) \left[\log{\xi}+\log{(1-\xi)} - 2\log{(1-2\xi)}\right] \mathrm{d}\xi\\
&~~~~-2\int_{0}^{\frac12}\frac{(1-2\xi)}{\xi (1-\xi)} \log{(1-\xi)} \left[\log{\xi}+\log{(1-\xi)} - 2\log{(1-2\xi)}\right] \mathrm{d}\xi\\
&=4\left(\zeta{(2)}-2\log^2{2}\right)\int_{0}^{\frac12}(2\xi-1) \left[\log{\xi}+\log{(1-\xi)} - 2\log{(1-2\xi)}\right] \mathrm{d}\xi\\
&~~~~+2\int_{0}^{\frac12}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{x}\right) \left[\log{(1-\xi)}\log{\xi}+\log^2{(1-\xi)} - 2\log{(1-\xi)}\log{(1-2\xi)}\right] \mathrm{d}\xi.
\end{align}$$
Ahora, la distribución de los factores en la integrands y la integración término a término, podemos escribir la integral de la $I$ como una suma de una docena o tan primitiva integrales que cada uno tiene anti-derivados en términos de polylogarithms que pueden ser fácilmente evaluados y se suman con la ayuda de un equipo programa de álgebra, tales como WolframAlpha, obteniendo así el resultado deseado. Sin embargo, esta solución deja mucho que desear en la forma de la elegancia....
