200 números naturales diferentes para dividir en suma y productos

Question

Me pregunto si hay $n=200$ diferentes números naturales con la propiedad de que la suma (productos) de los primeros $100$ es igual en consecuencia a la suma (productos) del resto $100$ ¿números? ¿Cómo encontrar los números? Hay números como $2+8+9=3+4+12=19$ y $289=3412$ pero ¿qué pasa con $n>6$ ?

Answer 1

Si puedes hacerlo por $n=2m$ números, puede hacerlo por $n=2(m+3)$ números. Escribe tu respuesta para $n=2m$ como $a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_m$ .

Elija $k>\max(a_1,\dots,a_m,b_1,\dots b_m)$ y añadir $a_{m+1}=2k,a_{m+2}=8k, a_{m+3}=9k,$ y $b_{m+1}=3k,b_{m+2}=4k,b_{m+3}=12k.$

Básicamente, estamos añadiendo una versión a escala de ti $n=3$ respuesta, eligiendo la escala para que los nuevos números sean mayores que todos los anteriores.

En general, una solución para $n=2m$ y uno para $n'=2m'$ da una solución para $n''=2(m+m').$

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Obtenemos una respuesta para $n=8$ con:

$$(2,9,16,18),\\ (3,6,12,24)$$

Así que puedes obtener una secuencia para $n=200$ añadiendo $6$ nuevos elementos a este $32$ tiempos.

Como puede elegir $k$ para ser un poder de $2$ puede asegurarse de que su secuencia está formada por todos los números de la forma $2^i3^j$ donde $j\leq 2.$

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Dadas las soluciones para $n=6$ y $n=8$ podemos resolver cualquier $n=6a+8b$ para los enteros $a,b\geq 0.$ Todo esto es incluso $n\geq 6$ que no sea $n=10.$

Si se puede resolver para $n=10$ entonces tienes soluciones para todos incluso $n\geq 6.$

Aquí hay una respuesta para $n=10:$

$$(3,4,36,64,72),\\ (2,9,24,48,96)$$

Así que conservamos nuestra propiedad de que podemos encontrar tales secuencias para todos los pares $n\geq 8$ tal que los números son de la forma $2^i3^j$ con $j\leq 2$ .

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Así es como encontré el $n=8$ ejemplo. Lo mismo se utilizó para $n=10.$

En primer lugar, añadió $1$ a ambos lados del $n=3$ ejemplo. Luego he multiplicado ambos por $2$ obteniendo..:

$$(2,4,16,18),\\(2,6,8,24)$$

Luego añadí $9$ a ambas secuencias:

$$(2,4,9,16,18),\\(2,6,8,9,24)$$

Entonces sustituí el $2,8,9$ en la segunda secuencia con $(3,4,12)$ dando:

$$(2,4,9,16,18),\\(3,4,6,12,24)$$

Luego he eliminado el valor común $4$ de estos dos, dando:

$$(2,9,16,18),\\(3,6,12,24)$$

Answer 2

Para complementar la respuesta de @Thomas Andrews, he aquí una $n=8$ solución:

$$ \{1,6,7,10\}\quad\text{and}\quad \{2,3,5,14\},$$

y el código de Matlab que utilicé para conseguirlo (hay muchos otros):

r = 14;

for i1 = 1:r
    for i2 = i1+1:r
        for i3 = i2+1:r
            for i4 = i3+1:r
                for j1 = 1:r
                    for j2 = j1+1:r
                        for j3 = j2+1:r
                            for j4 = j3+1:r
                                if((i1 ~= j1) && (i1 ~= j2) && (i1 ~= j3) && (i1 ~= j4))
                                    if((i2 ~= j1) && (i2 ~= j2) && (i2 ~= j3) && (i2 ~= j4))
                                        if((i3 ~= j1) && (i3 ~= j2) && (i3 ~= j3) && (i3 ~= j4))
                                            if((i4 ~= j1) && (i4 ~= j2) && (i4 ~= j3) && (i4 ~= j4))
                                                if((i1+i2+i3+i4 == j1+j2+j3+j4) && (i1*i2*i3*i4 == j1*j2*j3*j4))
                                                    disp([i1,i2,i3,i4,j1,j2,j3,j4])
                                                end
                                            end
                                        end
                                    end
                                end
                            end
                        end
                    end
                end
            end
        end
    end
end