Estoy familiarizado con que en cualquier circuito compuesto de elementos pasivos lineales y una entrada sinusoidal, todos los voltajes y corrientes a través de cualquier elemento exhibirán el mismo comportamiento sinusoidal y la misma frecuencia que la entrada; de hecho, así es como funcionan los filtros pasivos. Pero no puedo averiguar o encontrar una prueba concreta o directa de por qué sucede esto, si no es una simple observación.
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user136776
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326
He estado echando mis cerebros y eventualmente encontré un buen enfoque matemático para probar esto y decidí responder a mi propia pregunta. En tal circuito, resolver para cualquier voltaje/corriente a través de cualquier componente (llamaré a eso \$f\$ ) siempre le llevaría a construir una ecuación diferencial que es siempre lineal, con coeficientes constantes (debido a las propiedades lineales de los componentes pasivos) y no homogéneos (debido a la entrada sinusoidal). Tal ecuación diferencial siempre tomará esta forma: $$a \frac {d^nf}{dt^n}+b \frac {d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j \frac {df}{dt}+kf=C \sin {( \omega t+ \theta )}$$ donde \$a...k\$ son constantes (combinaciones de inductancia, resistencia, etc.), \$n\$ es el orden de la ecuación diferencial (que refleja el número de elementos de almacenamiento de energía en el circuito), y \$C \sin {( \omega t+ \theta )}\$ es una función sinusoidal generalizada que describe la entrada. Una solución general a esta ecuación diferencial siempre tomará esta forma: $$f= \text {(general homogeneous solution)}+ \text {(particular solution)}$$ donde la solución particular \$=A \sin {( \omega t+ \theta )}+B \cos {( \omega t+ \theta )}\$ que es una función sinusoidal de la misma frecuencia! Ahora, en el análisis del circuito de CA, siempre estamos mirando el circuito en estado estable, cuando la solución homogénea se acerca a cero (lo que inevitablemente sucede debido a las resistencias en el circuito).
Spehro Pefhany
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90994
Esto es sólo verdadero para los circuitos LTI (Lineal Time-Invariant). Si tienes un componente no ideal (y todos lo son en un grado u otro) verás armónicos de la frecuencia de entrada en la salida. Los inductores tienden a ser los peores de todos, pero todas las partes pasivas tienen ese comportamiento. Por ejemplo, los condensadores pueden exhibir un fuerte coeficiente de voltaje y no son invariables en el tiempo debido a la absorción dieléctrica.
Para una prueba matemática sencilla (asumiendo aproximadamente el segundo año de conocimientos de matemáticas en la universidad) puedes leer estos Notas del curso de Berkeley (EECS20N: Señales y Sistemas). Puede descargar el texto completo aquí .
ianb
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659
Ocurre porque una onda sinusoidal es sólo una línea en el espectro de frecuencias y no importa lo que hagas con ella usando un filtro lineal o un amplificador, todo lo que ocurre es que la fase o la amplitud se desplaza.
Si fuera una onda cuadrada (armónicos infinitos), la aplicación de un filtro atenuaría o acentuaría algunas frecuencias más que otras y la onda cuadrada perdería su forma cuadrada reconocible.
Armónicos de ondas cuadradas: -
Silverarc
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1
En el caso de A), la declaración es que dado cualquier $b \in \mathbb {R}^n$ hay una solución a la ecuación matricial $Ax = b$ . Pero si $A$ es la matriz de cero, entonces sólo hay una $b$ para el cual hay una solución, a saber $b=0$ . Ya que hay algunos $b$ para el cual $Ax = b$ no puede ser resuelto, la declaración original es falsa.
Para B), la condición de que la única solución para $Ax=0$ es $x=0$ significa que no hay variables libres en la forma de escalón reducido de $A$ . O dicho de otra manera, cuando se aplica la eliminación de Gauss-Jordania, se debe obtener $n$ pivote (o equivalente, $n$ filas que no sean cero). Dicho de otra manera, la única solución para $Ax = 0$ es $x=0$ exactamente cuando el rango de $A$ es igual a $n$ .
rackandboneman
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101
Esto es cierto sólo cuando se restringen los elementos pasivos a R,L,C, y tal vez a los cristales que son impulsados adecuadamente - e incluso entonces, hay dos excepciones, véase más adelante. Los diodos intencionales y no intencionales, los varistores, los termistores con masa térmica y otros elementos no lineales pueden introducir rápidamente distorsiones en las entradas sinusoidales puras. Los cristales sobreimpulsados o los filtros cerámicos también pueden comportarse de manera más bien no lineal. Si se incluyen elementos de dos terminales con resistencia negativa (tubos de descarga de gas, diodos de túnel) en la categoría pasiva, existen aún más posibilidades.
Las excepciones:
Las partes del mundo real tienden a tener imperfecciones que hacen que se comporten un poco como algunos elementos no lineales. Las resistencias pueden tener un comportamiento de "termistor con masa térmica" e incluso de "varistor". Los condensadores pueden tener una dependencia del voltaje en su valor debido a los efectos piezoeléctricos, campos eléctricos que producen fuerza mecánica, efectos químicos (en los electrolíticos). Además, algunos efectos de tipo electrolítico parecen estar documentados para los condensadores. Las uniones metal-metal pueden desarrollar un comportamiento similar al de los diodos. Los inductores pueden volverse no lineales a través de la saturación del núcleo, la interacción del campo magnético con los objetos metálicos cercanos, etc...
Todos los componentes resistivos que transportan una corriente exhiben algunos comportamientos generadores de ruido, cuyos límites inferiores están definidos por la física dura.
Tenga en cuenta que todas las señales repetitivas aparentemente no sinusoidales de la vida real pueden describirse perfectamente como una suma de ondas sinusoidales de frecuencias y fases variables.
Buscar la conexión con la naturaleza te hará ir en círculos: Las ondas sinusoidales son el principal ingrediente para hacer círculos y óvalos y cosas redondas, según los matemáticos (si quieres dibujar un círculo en un ordenador, normalmente usarás las funciones seno/coseno o usarás directamente el teorema de Pitágoras de alguna manera...) . La naturaleza hace muchas cosas redondas (pelo, tallos de plantas, cerezas, manchas de cereza, tornados, etc.) y mantiene un amplio suministro de ondas sinusoidales alrededor para ese propósito.
