La comprensión de Euclides prueba de que el número de primos es infinito.

Question

En Euclid de la prueba, si $p_1, p_2, \dots, p_n$ son los únicos números primos, a continuación, $p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n + 1$ no es divisible por ninguno de $p_1, p_2, \dots, p_n$ (debido a algunos algebraica de los hechos), lo que hace que otro primo y es una contradicción.

La prueba tiene sentido lógico, y he probado algunos ejemplos numéricos para "sentir" la prueba mejor, pero...

$2 \times 3 \times 5\times 7\times 11\times 13+1$ no es un número primo! $2 \times 3 \times 5\times 7\times 11\times 13 \times 17+1$ no es también el primer! ¿Por qué es en general el caso, la prueba no está funcionando para estos ejemplos?

Answer 1

Supongamos que hay un número finito de números primos. A continuación, se pueden enumerar como un conjunto $$P = \{p_1, p_2, \ldots, p_n\}.$$ The number $m = p_1 p_2 \ldots p_n + 1$ is either prime or composite. If it is prime, then we have found a prime that is not among the finite set $\{p_1, \ldots, p_n\}$ of primes we assumed to comprise the collection of all primes. If it is composite, then it is divisible by a prime. But it cannot be divisible by any of $p_1, p_2, \ldots, p_n$, for upon dividing $m$ by any of these primes, it leaves a remainder of $1$. Therefore, $m$ es divisible por un primo que de nuevo no está en la supuesta conjunto de todos los números primos. En cualquier caso, una contradicción es la que obtuvo en el que la suposición de que hay un número finito de números primos es violado.

Answer 2

Euclides prueba de la no contradicción. Muchos respetables autores dicen que fue, y están equivocados. Dirichlet puede haber sido el origen del error.

Euclides dijo que si usted toma cualquier conjunto finito $S$ de los números primos (que no necesita ser la primera $n$ de los números primos), los factores primos de a $1+\prod S$ no son miembros de $S$; por lo tanto, hay al menos uno de los más principales que en cualquier conjunto finito $S$.

Dicen que el conjunto finito de comenzar con es $S=\{5,7\}$. A continuación,$1+\prod S = 36 = 2\times2\times3\times3$, por lo que el adicional números primos son $2$$3$.

No hay nada de ese que dice $1+\prod S$ (que en el ejemplo anterior es $36$) es primo. Que surge sólo cuando la prueba se convierte en una prueba por contradicción, y, a continuación, $1+\prod S$ se muestra para ser la mejor, no en la secuencia real de los números naturales, pero en el hipotético conjunto de todos los números naturales que contiene sólo un número finito de números primos. Desde ese hipotético conjunto es, en última instancia demostrado que no existen, no hay ningún problema.

Moraleja de la historia: Reorganizando esta en una prueba por contradicción hace que el asunto confuso y más complicado --- por lo tanto, en esas formas inferiores de Euclides de la prueba original.

PS: Por demanda popular (expresadas en los comentarios de abajo), aquí es una prueba de que $1+\prod S$ no es divisible por ninguno de los miembros de $S$. Supongamos $p$ es uno de los miembros de $S$. Si usted divide $\prod S$$p$, el cociente es el producto de todos los demás miembros de $S$ y el resto es $0$, por lo que si usted divide $1+\prod S$$p$, el cociente es el producto de los otros miembros y el resto es $1$. Puesto que el resto es $1$, el número de $1+\prod S$ no es divisible por $p$.

Por ejemplo: Supongamos $S=\{5,7,13\}$. A continuación,$N= 1+\prod S$$1 + (5\times7\times 13) = 456$.

Si usted divide $N$$5$, el cociente es $7\times 13$ y el resto es $1$.

Si usted divide $N$$7$, el cociente es $5\times 13$ y el resto es $1$.

Si usted divide $N$$13$, el cociente es $5\times 7$ y el resto es $1$.

Dividiendo $N$ por cualquiera de los miembros de $S$ deja un resto de $1$, lo $N$ no es divisible por ninguno de los miembros.

Answer 3

Es un error común pensar que el $p_1p_2...p_n+1$ es primo, simplemente es divisible por un primo que no es uno de los que se utilizan en el producto.

Y a la dirección de su comentario - si no se obtiene una primera de $p_1...p_n + 1$, es divisible por un primo no está en la lista, que sólo pasa a ser sí mismo.

Answer 4

La razón por la que sus ejemplos numéricos que no funcionan es porque la conclusión de que "$p_1 p_2 \ldots p_n + 1$ es primo" se basa en una premisa falsa ($p_1, p_2, \ldots, p_n$ son todos los números primos) a los fines de obtener una contradicción. Una vez que obtenga la contradicción, se ha demostrado que la declaración original (hay una infinidad de números primos), pero no hay ninguna razón para creer que alguna de las cuentas intermedias se mantenga, porque todos ellos están basados en la suposición de que ahora sabemos que es falso.

Answer 5

$2\times3\times5\times7\times11\times13+1$ no necesita ser un primo, todo lo que dice en la prueba de ello es que este número no es divisible por ninguno de los números primos que se utilizó para crearlo, es decir, 2,3,5,7,11 y 13. El hecho de que este número debe ser divisible por algunos de los mejores, a continuación, se obtiene el resultado de que la lista de números primos no es completa