¿Por qué utilizamos funciones trigonométricas en las transformadas de Fourier y no otras funciones periódicas?

Question

¿Por qué, cuando realizamos transformaciones/descomposiciones de Fourier, utilizamos las ondas seno/coseno (o más generalmente las exponenciales complejas) y no otras funciones periódicas? Entiendo que forman un conjunto básico completo de funciones (aunque no entiendo rigurosamente por qué), pero seguramente otras funciones periódicas también lo hacen.

¿Es sólo porque los exponenciales seno/coseno/complejo son cómodos de tratar, o hay una razón más profunda? Entiendo la relación que tienen con los círculos y la progresión alrededor de ellos a un ritmo constante, y cómo eso es agradable y conceptualmente placentero, pero ¿tiene un significado más profundo?

Answer 1

Las funciones de base de Fourier $e^{i \omega x}$ son funciones propias del operador de desplazamiento $S_h$ que mapea una función $f(x)$ a la función $f(x - h)$ : $$ e^{i \omega (x-h)} = e^{-i\omega h} e^{i \omega x} $$ para todos $x \in \mathbb R$ .

Todas las encarnaciones de la transformada de Fourier (como las series de Fourier y la transformada discreta de Fourier) pueden entenderse como un cambio de base a una base de vectores propios para un operador de desplazamiento.

Es posible considerar otros operadores, que tienen diferentes funciones propias que conducen a diferentes transformaciones. Pero este operador de desplazamiento es tan sencillo y fundamental que no es de extrañar que la transformada de Fourier resulte especialmente útil.

Answer 2

No hay ninguna razón matemática directa para utilizar seno/coseno/exponencial. De hecho, se puede definir una descomposición similar utilizando cualquier base ortogonal de las funciones cuadradas integrables. Por ejemplo, se puede descomponer una función en un intervalo utilizando la base Polinomios de Legendre o en un sentido más general tomar cualquier base suficientemente bonita y hacer lo que se llama un Transformación Wavelet . La mayoría de las propiedades de la transformada de Fourier, como por ejemplo la isometría, seguirán siendo válidas, con pruebas muy idénticas.

Sin embargo, hay muchas razones indirectas para utilizar el seno/coseno/exponencial, a saber, que tienen un montón de propiedades agradables y útiles, sobre todo relacionadas con la diferenciación. Sólo por nombrar algunas de las que se me ocurren:

• Son funciones propias del operador diferencial. Es decir, tienden a reproducirse bajo la diferenciación. $\frac{d}{dt} e^{ikt}$ también es un múltiplo de $e^{ikt}$ . Podemos usar esto para resolver ecuaciones diferenciales convirtiéndolas en ecuaciones lineales simples tomando la transformada.
• Son las soluciones del oscilador armónico simple $\ddot{f} = -kf$ . Esta ecuación (o variaciones de la misma) aparece con mucha frecuencia en la física y, por lo tanto, no es de extrañar que la serie o la transformada de Fourier sea útil cuando se trata de estos problemas. (Y, de hecho, para otras ecuaciones necesitarás una transformada diferente)
• Son analíticas y periódicas. Sé que se puede convertir cualquier función en un intervalo en una función periódica, sin embargo, ya que seno/coseno/exponencial corresponden a su propia serie de potencias, son una especie de "naturalmente periódicas".

Answer 3

Hay un significado más profundo desde el punto de vista de la teoría de la representación.

Para la transformada de Fourier en el círculo, las funciones de la forma $e^{ikx}$ (dependiendo del periodo/normalización) son precisamente los caracteres, representaciones complejas irreducibles del grupo $\mathbb T$ (que se puede considerar como ${\mathbf R}/{\mathbf Z}$ , ${\mathbf R}/{\mathbf 2\pi \mathbf Z}$ o como los números complejos de norma $1$ o cualquier otra renormalización que se prefiera).

Funciones $\sin(kx)$ y $\cos(kx)$ son los coeficientes de la matriz del irreducible real representaciones del grupo.

Del mismo modo, para la línea real, $e^{i\xi x}$ son las representaciones unitarias complejas irreducibles del grupo $(\mathbf R,+)$ , mientras que $\sin(\xi x)$ , $\cos(\xi x)$ son los coeficientes matriciales de las representaciones reales ortogonales irreducibles.

La teoría de la representación da un sentido preciso a la transformada de Fourier para cualquier grupo localmente compacto (y probablemente más, pero no soy especialista), y en el caso abeliano, tenemos la dualidad de Pontryagin, que es responsable de la transformada de Fourier inversa.

Answer 4

Su pregunta se refiere en parte a la Historia. Y la historia de cómo los matemáticos fueron llevados a considerar expansiones ortogonales en funciones trigonométricas no es natural. De hecho, la conjetura de Fourier de que las funciones mecánicas arbitrarias podían expandirse en una serie trigonométrica no fue creída por otros matemáticos de la época; la controversia relativa a esta cuestión llevó a prohibir la publicación del trabajo original de Fourier durante más de una década.

La idea de las expansiones trigonométricas surgió al observar la ecuación de onda para los desplazamientos de una cuerda: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. $$ En 1715, B. Taylor, concluyó que para cualquier número entero $n\ge 1$ la función $$ u_n(x,t)=\sin\frac{n\pi x}{a}\cos\frac{n\pi c}{a} (t-\beta_n) $$ representaba una solución de onda estacionaria. $n=1$ correspondía al tono "fundamental", y para $n=2,3,\cdots$ En aquel momento, era natural preguntarse si se podía construir una solución general a partir de una combinación del modo fundamental y los armónicos. Si tal solución general existiera en la forma $$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}A_n u_n(x,t), $$ donde $A_n$ son constantes, entonces sería necesario poder expandir la función de desplazamiento inicial como $$ u(x,0) = \frac{a_0}{2}+a_1\cos\frac{\pi x}{a}+b_1\sin\frac{\pi x}{a}+\cdots. $$ El consenso en ese momento era que una función mecánica inicial arbitraria no podía expandirse de esta manera porque la función de la derecha sería analítica, mientras que $u(x,0)$ podría no serlo. (Este razonamiento no era correcto, pero las matemáticas no eran muy rigurosas en aquella época). Las relaciones de ortogonalidad utilizadas para aislar los coeficientes no fueron descubiertas hasta tiempo después por Clairaut y Euler.

Fourier decidió que esa expansión era posible y se propuso demostrarlo. El trabajo de Fourier estuvo prohibido de publicar durante más de una década, lo que nos dice que la idea de expandir en una serie de Fourier fue no una natural.

Fourier no inventó la serie de Fourier y no descubrió las condiciones de ortogonalidad que le permitían aislar los coeficientes en dicha expansión. Sin embargo, sí dio con la integral de Dirichlet para la serie truncada, y esencialmente dio la prueba de la integral de Dirichlet para la convergencia de la serie de Fourier, aunque se atribuyó falsamente a Dirichlet. El trabajo de Fourier sobre esta expansión se convirtió en un punto central de las matemáticas. Y el intento de estudiar la convergencia de las series trigonométricas obligó a las Matemáticas a volverse rigurosas.

Lo que hizo Fourier de forma original fue abstraer la serie discreta de Fourier a la transformada de Fourier y su inversa argumentando que la transformada de Fourier era el límite de la serie de Fourier cuando el periodo del modo fundamental tendía a infinito. Utilizó esto para resolver la ecuación del calor en intervalos infinitos y semi-infinitos. El argumento de Fourier para hacerlo era erróneo, pero su resultado era correcto. Derivó la transformada del coseno de Fourier y su inversa, así como la transformada del seno y su inversa, con las constantes de normalización correctas: \begin{align} f & \sim \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\sin(st)\left(\int_{0}^{\infty}\sin(st')f(t')dt'\right)ds \\ f & \sim \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\cos(st)\left(\int_{0}^{\infty}\cos(st')f(t')dt'\right)ds. \end{align} Los utilizó para resolver las EDP en dominios semi-infinitos. Los sin y cos eran funciones propias de $\frac{d^2}{dx^2}$ que se obtuvieron mediante la técnica de separación de variables de Fourier. El término "valor propio" surgió de esta técnica como una forma de entender los parámetros de separación de Fourier.

Basándome en esta historia, diría que no era una idea natural expandir una función en funciones trigonométricas. El trabajo de Fourier condujo a las nociones de operadores lineales, valores propios, expansiones autoadjuntas, simétricas y ortogonales generales en las funciones propias de un operador diferencial, pero tuvo que pasar más de un siglo para que este trabajo pareciera "natural".

Answer 5

Voy a discrepar respetuosamente con littleO, y elaborar la respuesta de mlk, y argumentar que el incluso más La razón fundamental para la elección de las funciones trigonométricas como funciones base es que son las funciones propias del Laplaciano.

La suavidad (en el sentido geométrico, y no analítico) de una función sobre $S^1$ se puede medir calculando su energía de Dirichlet $$E(f) = \int \langle \nabla f, \nabla f\rangle,$$ donde después de aplicar la integración por partes, $$E(f) = -\int f\Delta f = -\langle f, \Delta f\rangle.$$

El laplaciano es autoadjunto y negativo, y sus funciones propias son los senos y cosenos habituales. Vamos a ordenarlas en orden ascendente de sus magnitudes de valores propios para obtener las funciones base $b_i(\theta)$ con valores propios $\lambda_i$ . Por supuesto, $b_0$ es el componente de CC $b_0(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ con valor propio 0, etc.

Si ahora expandimos una función $f$ en esta base, $f(\theta) = \sum_i \alpha_i b_i(\theta)$ tenemos $$E(f) = \sum_i \alpha_i^2 (-\lambda_i).$$

En otras palabras, las primeras entradas en la expansión de $f$ , $\sum_{i=0}^N \alpha_i b_i$ contienen las "partes lisas" de $f$ las partes que menos contribuyen a $f$ de la energía Dirichlet. Cuantos más términos se añadan, más detalles de alta frecuencia se recuperarán. En el caso (muy común) de que haya que aproximar una función utilizando sólo una cantidad limitada de información, y el comportamiento grueso y suave de $f$ es más importante de preservar, la base de Fourier le da una representación natural para hacerlo.

La imagen anterior se generaliza directamente a otros entornos, como en la esfera (donde los armónicos esféricos desempeñan el papel de los senos y cosenos) u otras variedades.