Usando el L'Hospital que tengo: $ \lim\limits_ {x \to 0} \frac { \ln (x+1)}{ \ln (1+4x+x^2)} = \lim\limits_ {x \to 0} \frac { \frac {1}{1+x}}{ \frac {4+2x}{1+4x+x^2}}= \frac {1}{4}$ ,
Entonces me pregunté si podía hacer un sándwich y lo observé: $ \frac {x-1}{x} \le \ln (x) \le x-1 $ eso: $ \frac {1}{4} \xleftarrow {x \to 0} \frac { \frac {x+1-1}{x+1 }}{1+4x+x^2-1} \le \frac { \ln (x+1)}{ \ln (1+4x+x^2)} \le \frac {x+1-1}{ \frac {1+4x+x^2-1}{1+4x+x^2}} \xrightarrow {x \to 0} \frac {1}{4} $
Me pregunté entonces, sin embargo, si era directamente posible obtener el resultado mediante la manipulación inteligente de las variables, de modo que el término se simplifica a sí mismo a $ \frac {1}{4}$ en el límite. Simplemente sustituyendo $x+1$ o $1+4x+x^2$ con $e^u$ parece bastante engorroso, si (!) es constructivo en absoluto. Me temo que no hay una buena simplificación de lo anterior. Pero tal vez alguien conozca otra manera elegante de llegar a este límite.)
Siempre estoy feliz de ampliar y practicar mi juego de herramientas. Como siempre, gracias de antemano.
