$\mathbb{Q}(\zeta)$ contiene un único subcampo $K$ grado $10$$\mathbb{Q}$?

Question

Deje $\zeta$ $151$th raíz de la unidad, $L = \mathbb{Q}(\zeta)$. ¿Cómo puedo ver que el cyclotomic campo $L$ contiene un único subcampo $K$ grado $10$$\mathbb{Q}$? Podemos concluir que el $\mathcal{O}_K$ tiene más de $3$ generadores a lo largo de $\mathbb{Z}$?

Answer 1

$L/\mathbb Q$ es una extensión de Galois con cíclico grupo de Galois. Por lo tanto, no es exactamente un subgrupo para cada divisor del orden del grupo de Galois. Por lo tanto, no es exactamente un intermedio de campo de cada divisor del grado de $L/\mathbb Q$. Desde este grado es $\phi(151)=150$, $10$ está permitido.