El polinomio de dos variables de la matriz determinante de la función

Question

Tenemos la función

$$f(x,y)=\det(A^2+B^2-xAB-yBA)$$

donde $x, y$ son números reales e $A, B$ $2 \times 2$ matrices con coeficientes reales.

¿Cuáles son los coeficientes de $f(x,y)$ en el polinomio de la forma?

Answer 1

Deje $C(x,y)=A^2+B^2-xAB-yBA$. A continuación, $f(x,y)=\det(C(x,y))$ es un polinomio en a$x$$y$, y el coeffcients de $A$$B$, considerados como constantes, debido a que el determinante de una matriz es un polinomio en sus entradas. Por ejemplo, si $A=B=I$,$C(x,y)=2I-xI-yI=(2-x-y)I$, por lo que el $\det(C(x,y))=(2-x-y)^n$ donde $n$ es el tamaño de las matrices - aquí $n=2$.

Explícitamente, si $A$ entradas $a_1,a_2,a_3,a_4$ $B$ entradas $b_1,b_2,b_3,b_4$, obtenemos $$ \det(C(x,y))=x^2(a_1a_4b_1b_4 - a_1a_4b_2b_3 - a_2a_3b_1b_4 + a_2a_3b_2b_3) + xy( - a_1^2b_2b_3 + a_1 a_2b_1b_3 - a_1a_2b_3b_4 + a_1a_3b_1b_2 - a_1a_3b_2b_4 + 2a_1a_4b_1b_4 + a_2^2b_3^2 - a_2a_3b_1^2 - a_2a_3b_4^2 - a_2a_4b_1b_3 + a_2a_4b_3b_4 + a_3^2b_2^2 - a_3a_4b_1b_2 + a_3a_4b_2b_4 - a_4^2b_2 b_3) + x( - a_1^2a_4b_4 + a_1a_2a_3b_4 + a_1a_2a_4b_3 + a_1a_3a_4b_2 - a_1a_4^2b_1 - a_1b_1b_4^2 + a_1b_2b_3b_4 - a_2^2a_3b_3 - a_2a_3^2b_2 + a_2a_3a_4b_1 + a_2b_1b_3b_4 - a_2b_2b_3^2 + a_3b_1b_2 b_4 - a_3b_2^2b_3 - a_4b_1^2b_4 + a_4b_1b_2b_3) + y^2(a_1a_4b_1b_4 - a_1a_4b_2b_3 - a_2a_3b_1b_4 + a_2a_3b_2b_3) + y( - a_1^2a_4b_4 + a_1a_2a_3b_4 + a_1a_2a_4b_3 + a_1a_3a_4b_2 - a_1a_4^2b_1 - a_1 b_1b_4^2 + a_1b_2b_3b_4 - a_2^2a_3b_3 - a_2a_3^2b_2 + a_2a_3a_4b_1 + a_2b_1b_3b_4 - a_2b_2b_3^2 + a_3b_1b_2b_4 - a_3b_2^2b_3 - a_4b_1^2b_4 + a_4b_1b_2b_3) + a_1^2a_4^2 + a_1^2b_2b_3 + a_1^2b_4^ 2 - 2a_1a_2a_3a_4 - a_1a_2b_1b_3 - a_1a_2b_3b_4 - a_1a_3b_1b_2 - a_1a_3b_2b_4 + a_2^2a_3^2 + a_2a_3 b_1^2 + 2a_2a_3b_2b_3 + a_2a_3b_4^2 - a_2a_4b_1b_3 - a_2a_4b_3b_4 - a_3a_4b_1b_2 - a_3a_4b_2b_4 + a_4^2b_1^2 + a_4^2b_2b_3 + b_1^2b_4^2 - 2b_1b_2b_3b_4 + b_2^2b_3^2. $$

Answer 2

$f(x,y)=\det(A^2+B^2)-Trace(ABadj(A^2+B^2))x-Trace(BAadj(A^2+B^2))y$

$+(\det(AB+BA)-2\det(AB))xy+\det(AB)(x^2+y^2).$