Hay un charaterization de riemann producto colectores?

Question

Algunos de Riemann colectores se expresa como un producto de colector. Recientemente, he leído dos artículos sobre el espacio-tiempo. En ambos artículos, los autores demuestran que una de Riemann colector $\bar{M}^n$ se expresa como un producto de la forma $I\times M^{n-1}$. Ambos autores utilizan técnicas similares, a saber, la integración de distribución, en esta descomposición. Realmente, no entiendo esta técnica. Pero es suficiente para saber de una caracterización de Riemann de colectores en la que podemos expresar como un producto colector $M_1\times M_2$.

Q1 ¿esta caracterización existen?(si sí, una referencia es necesario)

Q2 Qué condiciones y a prueba de indicios, podría uno pensar, a fin de caracterizar estos colectores?

Answer 1

La mayoría de los resultado general asegurar la descomposición de un colector es la siguiente (ver R. A. Blumenthal y J. J. Hebda. Ehresmann conexión para foliaciones, Indiana Matemáticas. J. 33 (1984), 597-612):

Teorema: sea M un simplemente se conecta el colector amueblado con una foliación. Si se admite una integrable Ehresmann conexión, entonces M es diffeomorphic para el producto de dos hojas y las foliaciones son identificados con la canónica de foliaciones del producto.

Obsérvese que ninguna de las métricas es asumida en el teorema anterior.

El clásico resultado es el De Rham de descomposición teorema: sea M un completo y simplemente se conecta el colector colector de Riemann. Si M es reducible, entonces se divide como un producto directo del colector $M_1\times M_2$.

Una amplia generalización fueron obtenidos por N. Koike (Totalmente central foliaciones y teoremas de descomposición, Saitama Matemáticas. J. 8 (1990), 1-18)

Teorema: sea M un simplemente conectado semi-colector de Riemann y $(F_1, F_2)$ dos complementarios, ortogonales y central foliaciones. Si las hojas de $F_1$ son completas y $dim F_1 \geq 3$, entonces M es isométrico a un doble trenzado producto de dos hojas.

Un véase también R. Ponge y H. Reckziegel, Trenzado producto en pseudo-Riemann la geometría, Geometría. Dedicata 49 (1993), 15-25, se que se pruebe lo siguiente.

Teorema: Vamos a $M$ ser simplemente conectado semi-Riemann colector con $(F_1, F_2)$ dos ortogonales y complementarias foliaciones. Supongamos que $F_1$ es geodésica y con completar las hojas. 1. Si $F_2$ es central entonces M es isométrico a un trenzado de producto. 2. Si $F_2$ es esférico entonces M es isométrico a un producto warped. 3. Si $F_2$ es geodésicos, entonces M es isométrico a un producto directo.

Como se puede ver, la integridad y simplemente la conexión se supone siempre, aunque no son condiciones necesarias. En el papel de M. Gutiérrez y B. Olea, Semi-colector de Riemann con un doble deformada de la estructura, Modif. de Mat. Iberoam. 28 (2012), no. 1, 1-24, algunos de los resultados de la descomposición se dan sin suponiendo que el simplemente la conexión hipótesis.

Si usted está interesado en descomposición con un coeficiente dimensional, puede ver los siguientes documentos:

Y. Tashiro, Completa de Riemann colectores y algunos campos vectoriales, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 117 (1965) 251-275.

M. Kanai, En una ecuación diferencial que determina una de Riemann estructura de un colector, Tokio J. Math. 6 (1983), 143-151.

E. Garc ıa-R ıo y D. N. Kupeli, la Singularidad frente a la división de teoremas de forma estable causal spacetimes, Ann. Global Anal. Geom. 14 (1996), 301- 312.

T. Sakai, En la de Riemann colectores de admisión de una función cuyo gradiente es constante norma, Kodai de Matemáticas. J. 19 (1996), 39-51.

M. Gutiérrez, B. Olea, Global descomposición de un colector de Lorenz como una generalización de Robertson–Walker espacio, Geometría Diferencial. Appl. 27 (2009) 146-156.