Encuentre $n\in\mathbb{N}^+$ Para todos los números reales positivos $a,b,c$ sastifying $a+b+c=3$
$\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}\geqslant a^n+b^n+c^n$
Respuesta
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Element118
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Para un límite superior, considere $(a,b,c)=\left(\frac{3}{2},\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right)$ . (Esto se me ocurrió a mí, pero lo voy a poner en la Wiki de la Comunidad, ya que está reflejado en la página de AoPS).
Tenemos que resolver para el más pequeño $n$ tal que: $\left(\frac{2}{3}\right)^n+2\left(\frac{4}{3}\right)^n<\left(\frac{3}{2}\right)^n+2\left(\frac{3}{4}\right)^n$ .
Intuitivamente, el más pequeño $n$ debe existir como $2\left(\frac{4}{3}\right)^n<<\left(\frac{3}{2}\right)^n$ para un tamaño suficientemente grande $n$ .
Una rápida comprobación de Wolfram Alpha da $n>5.63493$ .
Por lo tanto, esta desigualdad sólo puede ser válida para $n=1,2,3,4,5$ ya que $n$ es un número entero.
Como nota al margen, la forma en que veo que esto funciona es probando cosas de la forma $(a,b,c)=(3-2x,x,x)$ , donde $0<x<1$ , ya que queremos que algo del lado derecho de la desigualdad sea muy grande.
La condición esencial requerida para obtener un límite para $n$ es $\frac{1}{x}<3-2x$ o $2x^2-3x+1<0$ . Factorizando, tenemos $(2x-1)(x-1)<0$ , lo que significa que $1>x>\frac{1}{2}$ .
