¿Cuál es el trigésimo término de esta secuencia (matemáticas GRE)?

Question

Estoy estudiando para la asignatura de matemáticas del GRE y me encontré con el siguiente problema de un examen anterior (formulario GR0568, que se encuentra en "www.math.ucla.edu/~cmarshak/GRE1.pdf", pregunta nº 25). El problema dice:

25. Dejemos que $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ definirse recursivamente por $a_1 = 1$ y $a_{n+1} = \left( \frac{n+2}{n} \right) a_n$ para $n \geq 1$ . Entonces $a_{30}$ es igual a

(A) (15)(31)

(B) (30)(31)

(C) $\frac{31}{29}$

(D) $\frac{32}{30}$

(E) $\frac{32!}{30!2!}$

Mi planteamiento fue el siguiente: $a_2 = \frac{2+2}{2} = \frac{4}{2}$ por lo tanto, tenemos

$$a_{30} = \left( \frac{31}{29} \right) \left( \frac{30}{28} \right) ... \left( \frac{5}{3} \right) \left( \frac{4}{2} \right) \left( \frac{1}{1} \right) = \frac{31!}{3!29!} = \frac{(31)(30)}{6} = 31(5)$$

Sin embargo, ¡ésta no es ni siquiera una de las respuestas! Se supone que la respuesta es (A), pero no veo cómo es posible. Si $a_1$ no se puso especialmente a 1 sino que siguió el mismo patrón para ser $(1+2)/1 = 3$ Entonces el factor extra de 3 haría que la respuesta (15)(31) fuera la esperada, pero a no ser que hubiera una errata en un examen de matemáticas de una asignatura real que se utilizara durante años, me voy a quedar calvo de tanto rascarme la cabeza con este problema.

¿Puede alguien indicarme dónde me estoy equivocando en un problema aparentemente sencillo?

Answer 1

Un simple error de índice; $a_{\color{red}{n+1}}=\cdots$ Así que $a_2=\frac{3}{1}$ y no $\frac{4}{2}$ . En cambio, debería tener $$a_{30}=\frac{31}{29}\frac{30}{28}\dots \frac{3}{1}=\frac{31!}{2!29!}=\frac{31\cdot 30}{2}=31\cdot 15$$

Answer 2

Intenta escribir los primeros términos de forma explícita:

$a_1=1$

$a_2={3}/{1}$

$a_3={(3\times 4)}/{(1\times 2)}$

$a_4={(3\times 4\times 5)}/{(1\times 2\times 3)}$

$a_5={(3\times 4\times 5\times 6)}/{(1\times 2\times 3\times 4)}$

y observa el telescopio que se produce entre el numerador y el denominador. Parece que lo estabas haciendo pero mantuviste el producto incorrecto entre los términos no cancelados en el denominador. Así que comprueba de nuevo.