Equivalente formulario de definición de los colectores.

Question

Estoy estudiando la topología en mi cuenta, y estoy teniendo problemas para probar el siguiente.

Para un Hausdorff, conectado localmente euclídeo paracompact espacio de $X$, existe una contables de base para $X$.

Creo que si puedo conseguir posiblemente contables de apertura de la tapa de $X$ que consiste en coordinar las bolas (que es, homeomórficos para abrir la pelota en el espacio euclidiano), ya que cada coordinar las bolas son de segunda contables. Sin embargo, no puedo tener una idea de cómo encontrarlos. ¿Estoy haciendo lo correcto?

Answer 1

Comenzar con una cubierta abierta de a $X$ por coordinar las bolas, y deje $\mathscr{U}$ ser localmente finito abierto refinamiento. Definir una relación $\sim$ $\mathscr{U}$ como sigue: $U,V\in\mathscr{U}$, $U\sim V$ si existe un subconjunto finito $\{U_1,\dots,U_n\}$ $\mathscr{U}$ tal que $U=U_1$, $V=U_n$, y $U_k\cap U_{k+1}\ne\varnothing$$k=1,\dots,n-1$. Claramente $\sim$ es una relación de equivalencia en $\mathscr{U}$. Para $U\in\mathscr{U}$ deje $[U]$ el valor del $\sim$-clase de equivalencia de a $U$.

1. Demostrar que para cada $U\in\mathscr{U}$, $\bigcup[U]=\bigcup\{V\in\mathscr{U}:V\sim U\}$ está abierto en $X$. A la conclusión de que para todos los $U,V\in\mathscr{U}$, $U\sim V$.

2. Mostrar que $[U]$ es contable.

Conclusión mediante el uso de la idea de que usted describe en la pregunta.