¿Por qué el error relativo de dar un número correcto de dígitos?

Question

Aprendí que si el error relativo es de 5*$10^{-s}$, entonces el número correcto de dígitos, el resultado ha $s$. ¿Por qué es esto así? Se puede ilustrar con un ejemplo y/o una prueba?

Otra forma de decirlo parece ser que ese $n$ correcto dígitos significa un error relativo con el fin de $10^{-n}$. Es una definición?

Answer 1

Sea y un número real cuya expansión está dado por $$ y = \pm(0.d_{1}d_{2}d_{3}...d_{k}d_{k+1}...)_{\beta}\times\beta^{e} $$ con $ d_{1}\neq 0 $ $ m\le e\le M $ donde $\beta$ = la base, $k$ = el número de dígitos en la base de $\beta$ expansión, $m$ = el mínimo exponente y $M$ = el máximo exponente, y deje $ fl(y) $ ser el punto flotante equivalente de y. Cuando el número de picadas, la de punto flotante equivalente está dada por $$ fl_{chop}(y) = \pm(0.d_{1}d_{2}d_{3}...d_{k})_{\beta}\times\beta^{e} $$ cuando el número se redondea, $$ fl_{round}(y)=\pm(0.d_{1}d_{2}d_{3}...d_{k})_{\beta}\times\beta^{e}\qquad for \qquad d_{k+1}<\frac{\beta}{2} $$ $$ fl_{round}(y)=\pm[(0.d_{1}d_{2}d_{3}...d_{k})_{\beta}+\beta^{-k}]\times\beta^{e}\qquad for \qquad d_{k+1} \ge \frac{\beta}{2}$$ Tenemos $$ |fl_{chop}(y)-y|=(0.d_{k+1}d_{k+2}d_{k+3}...)_{\beta}\times\beta^{e-k}\le(1.0)_{\beta}\times\beta^{e-k}=\beta^{e-k} $$ también $$ |y|=(0.d_{1}d_{2}d_{3}...)_{\beta}\times\beta^{e}\ge(0.1)_{\beta}\times\beta^{e}=\beta^{e-1} $$ por lo tanto $$ \frac{|fl_{chop}(y)-y|}{|y|}\leq \frac{\beta^{e-k}}{\beta^{e-1}}=\beta^{1-k} $$ Al proceder de una manera similar, se puede demostrar que cuando un número es redondeado, de los límites en tanto la absoluta y la relativa de error, debido a errores de redondeo son la mitad de los límites obtenidos cuando un número es picado. Que es $$ |fl_{round}(y)-y|\le \frac{1}{2} \beta^{e-k} $$ y $$ \frac{|fl_{round}(y)-y|}{|y|}\le \frac{1}{2} \beta^{1-k} $$ Ahora estamos listos para la siguiente definición,

Definición. Supongamos que $x\neq 0$ y $$ \beta^{-(t+1)}<\frac{|x-y|}{|x|}\le \beta^{-t} $$ para algunos positiva entero $t$. Entonces decimos que la $x$ $y$ está de acuerdo con al menos $t$ y en la mayoría de las $t+1$ base SIGNIFICATIVA $\beta$ DÍGITOS.

Fuente: Una Introducción Amigable para el Análisis Numérico por Brian Bradie.