Referencia para un post sobre la fórmula de Gauss para los primos escrita como suma de dos cuadrados?

Question

En un post Encontrar eficazmente dos cuadrados que sumen un primo

Leo

"En 1825 Gauss dio la siguiente construcción para escribir un primo congruente a $1 \pmod{4}$ como una suma de dos cuadrados: Sea $p=4k+1$ sea un número primo. Determine $x$ (esto es únicamente posible...) para que

$$ x = \frac{(2k)!}{2(k!)^2} \pmod{p}, \quad |x| < \frac{p}{2}$$

Determina ahora $y$ para que

$$ y = x \cdot (2k)! \pmod{p}, \quad |y| < \frac{p}{2}$$

Gauss demostró que $x^2+y^2=p$ ."

Revisé el libro de Stark y no vi una referencia directa al documento o libro original de Gauss u otra referencia para explicar el método de cómo llegar a esto y encontrar la fórmula. Si conoces la referencia o puedes explicar su procedimiento, te lo agradeceré.

Answer 1

Tenemos $$ (2k)!^2 \equiv (-1)^{2k}(4k)! = (p-1)! \equiv -1 \pmod p $$ escribiendo $-1 \equiv 4k \pmod p$ , $-2\equiv 4k-1 \pmod p$ etc. para que $(2k)! \equiv (-1)^{2k} (4k)(4k-1)\cdots(2k+1) \pmod p$ . Entonces $$ x^2 \equiv \frac{(2k)!^2}{4(k!)^4} \equiv \frac{-1}{4(k!)^4} \pmod p. $$ De la misma manera, $y^2 \equiv \frac{1}{4(k!)^4} \pmod p$ . Así que $x^2 + y^2 \equiv 0 \pmod p$ . Ahora supongo que Gauss delimitó brillantemente $x^2+y^2$ utilizando su elección de $x$ y $y$ pero el límite trivial es $$ x^2 + y^2 = |x|^2 + |y|^2 < \frac{p^2}4 + \frac{p^2}4 = \frac{p^2}2. $$ Así que supongo que Gauss hizo algo inteligente ; he comprobado el libro al que se hace referencia en tu enlace y no redirige a una demostración, el autor sólo dice que Gauss demostró eso.

Espero que eso ayude,