¿Dado un paquete de fibra $F\to E\overset{\pi}{\to} B$ tal que $F,B$ son compacto, es necesariamente compacta $E$?

Question

Considere la posibilidad de una (localmente trivial) el haz de fibras $F\to E\overset{\pi}{\to} B$ donde $F$ es la fibra, $E$ el espacio total y $B$ de la base espacial. Si $F$ $B$ son compactos, debe $E$ ser compacto?

Esto sin duda vale si el paquete es trivial (es decir,$E\cong B\times F$), como consecuencia de que el teorema de Tychonoff. Esto también se cumple en todos los casos en que puedo pensar, como donde $E$ es la cinta de Moebius, la botella de Klein, que cubre el espacio y en el caso más complicado de $O(n)\to O(n+1)\to \mathbb S^n$, que me llevó a considerar esta cuestión. Estoy bastante seguro de que tiene algo más caso general donde $F,B$ están cerrados los colectores. Sin embargo, me parece que no puede encontrar una prueba de la declaración general. Mi principal dificultad radica en el encolado de juntas locales homeomorphisms para transferir finito cubre de $B\times F$$E$. Cualquier visión se agradece.

Answer 1

Por los locales, la trivialidad, existe un abierto que cubre $\mathcal U$ $B$ tal que para cada una de las $U\in\mathcal U$ el abierto subconjunto $\pi^{-1}(U)$ $E$ es homeomórficos a $U\times F$ en un modo compatible con la proyección de a $U$. De ello se desprende que hay una subbase $\mathcal S$ de la topología de $E$ que consiste en abrir los conjuntos de cada uno de los cuales está contenida en uno de estos $\pi^{-1}(U)$ y las correspondientes en virtud de los homeomorhisms a un subconjunto abierto de $U\times F$ de la forma $V\times W$ $V\subseteq U$ abierta en $B$ $W\subseteq F$ abierta en $F$.

Para demostrar la compacidad, es suficiente para demostrar que cada cubrimiento de $E$ por los subconjuntos de a $\mathcal S$ contiene un número finito de subcovering -esto se llama Alexander subbase lema y se utiliza en una de las pruebas de Thychonof del teorema (por ejemplo, en Kelley libro, si mal no recuerdo). Hacer eso!

Answer 2

No entiendo donde está el problema. Me estoy perdiendo algo?

Cada punto de $b\in B$ tiene una vecindad $N_b$ de manera tal que el paquete de más de $N_b$ es trivial. Elija un pequeño cerrado (por lo tanto compacto) de vecindad $C_b$ (necesitamos débil suposición aquí como Hausdorffness de $B$). El paquete de más de $C_b$ es homeomórficos a $C_b\times F$, por lo tanto compacto.

Tenga en cuenta que $\{\mathrm{int}(C_b)\}_{b\in B}$ es una cubierta abierta de a $B$ y por la compacidad tiene un número finito de subcover indexados por $(b_i)_{i=1}^n$. En consecuencia, $E$ es una suma finita de conjuntos compactos, por lo tanto compacto: $$E = \bigcup_{1\leq i \leq n} \pi^{-1}(C_{b_i}).$$