Algunas preguntas sobre $\gcd(n,m)$ y $\phi(n)$

Question

Hoy he estado trasteando en Excel a la salida del trabajo y he hecho una tabla en la que el $(i,j)$ entrada $a_{i,j}$ , para $j \geq i$ es 1 exactamente cuando $i$ y $j$ son coprimos (véase la instantánea de una parte de la tabla más abajo):

Mis preguntas son:

• ¿Hay alguna explicación para el patrón rectangular resaltado que sigue apareciendo (aunque en diferentes orientaciones)?
• ¿Qué pasa con los números en los que $a_{*j}$ es $0$ para la "mayoría" de los valores de $j$ . Parecen estar entre primos gemelos o, al menos, justo al lado de un primo. ¿Tiene algún significado?
• Otra pregunta que surgió de esto, ¿hay infinitas soluciones para $\phi(n) = \phi(n+1)$ ? También he calculado $\phi(n)$ directamente en la parte superior de mi tabla y me di cuenta de que el patrón de las soluciones parecía algo errático. ¿Hay algún teorema relacionado con esto?

Estas preguntas son bastante abiertas y pido disculpas. Sólo trato de ver si hay algún mérito en mi curiosidad de hoy.

Answer 1

Los primos gemelos siempre están a ambos lados de un múltiplo de 6 (excepto los primeros primos gemelos, 3 y 5). ¿Por qué?
Creo que los números con más espacio en blanco debajo son múltiplos de 6. ¿Por qué la mayoría de los números tienen un factor en común con cualquier múltiplo de 6?
No sé qué es lo que pregunta en su última pregunta. No obstante, jugar con las matemáticas es (a) divertido y (b) la forma en que se descubren muchas matemáticas.