El radio de convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{n!}z^n$

Question

Encontrar el radio de convergencia para: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}z^{n} $$

Mi intento:

Deje $$c_{n}=\frac{n^{n}}{n!}$$

$$\limsup_{n \to \infty} |c_{n}|^{\frac{1}{n}}=\limsup_{n \to \infty} \frac{n}{(n!)^{1/n}}$$

$$=\limsup_{n \to \infty} \frac{n}{n^{1/n}{(n-1)^{1/n}(n-2)^{1/n}\cdots 2^{1/n}1^{1/n}}}$$

El denominador $$n^{1/n}{(n-1)^{1/n}(n-2)^{1/n}\cdots 2^{1/n}1^{1/n}}$$ goes to 1 and so the limit goes to $\infty$

De modo que el radio de convergencia es $1/\infty=0$ Es ese derecho?

Answer 1

Utilizando el ratio de la prueba sería fácil aquí. Considere la posibilidad de $$\frac{c_n}{c_{n+1}} = \frac{n^n}{n!}\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac 1 {(1+\frac{1}{n})^n}$$ $$\limsup_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| = \frac 1 e$$ De modo que el radio de convergencia es $\frac{1}{e}$.

Answer 2

Por Lagrange inversión teorema dela función de Lambert $W$ tiene el siguiente desarrollo en serie de Taylor en el origen: $$ W(x) = \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}n^{n-2}}{(n-1)!}\,x^n $$ cuyo radio de convergencia es igual a $\frac{1}{e}$. Se lleva a $$ \frac{W(x)}{1+W(x)} = \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}n^{n}}{n!}\,x^n$$ entonces: $$ \sum_{n\geq 1}\frac{n^n}{n!}\,x^n = \frac{-W(-x)}{1+W(-x)} $$ para cualquier $|x|<\frac{1}{e}$.

Answer 3

No, esto no es correcto. La aplicación de la prueba de razón, $$ \frac{(n+1)^{n+1}n!}{(n+1)!n^n}|z|=\frac{(n+1)(n+1)^n}{(n+1)n^n}|z|=\left (\frac{n+1}{n}\right )^n|z|=\left (1+\frac{1}{n} \right )^n|z|. $$ Desde el primer término tiende a $e$$n \to \infty$, la proporción es estrictamente menor que uno iff $|z|<e^{-1}$.

El error proviene del hecho de que es cierto que los términos individuales en el denominador ir a cero, pero el número de términos individuales crece con $n$, por lo que no se puede aplicar ese razonamiento.

Answer 4

Esto es más fácil de hacer con la prueba de razón.

$\frac {(n+1)^{n+1}} {(n+1)!} \frac {n!} {n^n} = (\frac {n+1} {n})^n$

que va a $e$ $n$ va al infinito, por lo que el radio de convergencia es $\frac {1} {e}.$

Answer 5

Si se desea utilizar la raíz de la prueba, entonces se puede proceder como sigue.

Tenga en cuenta que

$$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\frac n{(n!)^{1/n}}&=\lim_{n\to \infty}\left(\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-\frac kn\right)\right)^{-1/n}\\\\ &=\lim_{n\to \infty}e^{-\frac1n \sum_{k=1}^n\log\left(1-\frac kn\right)}\\\\ &=e^{-\lim_{n\to \infty}\frac1n \sum_{k=1}^n\log\left(1-\frac kn\right)}\\\\ &=e^{\int_0^1 \log(1-x)\,dx}\\\\ &=e^{-1} \end{align}$$

Por lo tanto, la serie converge para $|z|<1/e$.