Cómo puedo probar los límites de este resultado?

Question

Cuando hice los ejercicios en la teoría de la probabilidad encontré esto limita de la siguiente manera y verificado con Mathematica 8.0, y también notó al $p=\dfrac12$ muestra que $\displaystyle p^n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{k+n-1}{k}q^k \equiv \frac12$, pero, ¿cómo funciona?

$$ \lim_{n\to\infty}p^n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{k+n-1}{k}p^k=\begin{cases}0, & p<0.5\\ 0.5, & p=0.5\\ 1, & p>0.5\end{casos} \qquad p,q>0, p+q=1, n\in\mathbf N^* $$

Answer 1

Si $p = \frac{1}{2}$$p = q$. Dejando $j = n -1$ el límite se convierte en \begin{equation} \lim_{j \to \infty} p^{j+1} \sum_{k = 0}^j {j + k \choose k} q^k = \lim_{j \to \infty} p^{1} \sum_{k = 0}^j {j + k \choose k} \frac{1}{2^{j + k}} \end{equation} Aquí está la parte interesante, si $q = \frac{1}{2}$, entonces la suma es siempre 1(he encontrado esta tomando las sumas parciales). No he tenido el tiempo para demostrar la propiedad, aunque creo que una prueba por inducción puede ser utilizado para mostrar la suma es siempre 1. Al conocer el límite se convierte en \begin{equation} \lim_{j \to \infty} p^1 = p = \frac{1}{2}; \end{equation} De hecho, yo estaría dispuesto a apostar que la expresión es siempre igual a$\frac{1}{2}$, independientemente de $j$ mientras $p = \frac{1}{2}$. Mal va a publicar una prueba de la propiedad, si puedo conseguir uno.

Answer 2

El jugador a tiene prob.$ p$ de ganar cualquier juego.El jugador B tiene prob. $q=1-p$ de ganar cualquier juego.Una serie de "mejor $n-1$ $2n-3$ juegos" se juega. La serie se detiene cuando un jugador ha alcanzado $n-1$ gana.Las probabilidades de que el jugador a gana la serie es $$f(A,p,n-1)=\sum_{k=0}^{n-2}p^{n-1}q^k \binom {k+n-1}{k}.$$.Now if $p=q=1/2$ we have $f(A,p,n-1)=f(A,1/2,n-1)=1/2$ because B is just as likely to win the series.To evaluate the formula in the Q, with $p=p=1/2$, we need to know, as well, that $$\lim_{n\to \infty}(pq)^{n-1}\binom {2n-1}{n-1}=0$$ for any $p\in [0,1]\wedge q=1-p.$................. Now,for $p>1/2$ would you think $\lim_{n\to \infty}f(A,p,n-1)$ could be less than $1$?