¿Límites alcanzables para las correlaciones de las variables aleatorias Gamma?

Question

Necesitaría saber si es posible alcanzar los límites [-1,1] con la correlación de Pearson con un par genérico de variables aleatorias Gamma. El problema, como puedes imaginar, es que no hay una forma cerrada conocida para la función cuantil (al menos que yo sepa). ¿Existe una solución? Incluso un trabajo de investigación podría ser suficiente, de hecho no he encontrado nada.

Answer 1

Si $X$ y $Y$ son perfectamente variables aleatorias correlacionadas (el coeficiente de correlación de Pearson coeficiente de correlación $\rho$ tiene valor $+1$ o $-1$ ), entonces debe ser que $Y = \rho aX + b = \pm aX+b$ donde $a >0$ .

Una variable aleatoria Gamma $X$ con el parámetro de forma $t>0$ y el parámetro de escala $\theta>0$ tiene una función de densidad $$f_X(x) = \frac{1}{\theta \cdot \Gamma(t)}\left(\frac{x}{\theta}\right)^{t-1}\exp\left(-\frac{x}{\theta}\right)\mathbf 1_{\{x\colon x>0\}}, ~~t > 0, ~~\theta > 0. \tag{1}$$ Escribimos $X \sim \Gamma(t,\theta)$ .

Con esta caracterización, si $X$ y $Y$ son perfectamente positivamente variables aleatorias correlacionadas y $X \sim \Gamma(t,\theta)$ entonces $Y = aX+b \sim \Gamma(t, a\theta)$ siempre que $b = 0$ . Si $b \neq 0$ entonces $Y$ es un desplazado Variable aleatoria gamma cuya función de densidad se desplaza hacia la derecha por $b$ unidades. Tenga en cuenta que $X$ y $Y$ tienen el mismo parámetro de forma. No es posible que dos variables aleatorias Gamma con diferentes forma parámetros para ser perfectamente correlacionados positivamente. Por otro lado, no dos variables aleatorias Gamma pueden tener el coeficiente de correlación de Pearson $-1$ . Si $X \sim \Gamma(t,\theta)$ entonces $Y = -aX+b$ toma valores negativos con probabilidad positiva, por lo que no puede tener una distribución Gamma.

Una definición algo más general de las variables aleatorias Gamma permite $\theta$ tomar valores negativos, y la variable aleatoria toma sólo valores positivos o sólo valores negativos según $\theta > 0$ o $\theta < 0$ . Así, para $t > 0$ y $\theta \neq 0$ tenemos que $X \sim \Gamma(t,\theta)$ tiene una función de densidad $$f_X(x) = \frac{1}{|\theta| \cdot \Gamma(t)}\left(\frac{x}{\theta}\right)^{t-1}\exp\left(-\frac{x}{\theta}\right)\mathbf 1_{\{x\colon \operatorname{sgn}(x) = \operatorname{sgn}(\theta)\}}\tag{2}$$ para que $-X \sim \Gamma(t,-\theta)$ . Con esta caracterización dos variables aleatorias Gamma perfectamente correlacionadas $X$ y $Y$ necesariamente tienen el mismo parámetro de forma mientras que sus parámetros de escala deben tener el mismo signo o signo contrario según como $\rho = +1$ o $\rho = -1$ y debe ser que $Y = \rho a X$ donde $a > 0$ .

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A generalización diferente de las variables aleatorias Gamma no se considera aquí.