Calcular

Question

Estoy tratando de calcular: $$\int_{0}^{1}\frac{x^4+1}{x^6+1}dx.$ $

Traté de cambiar % o $x^4$ $t^2$ $t$, pero no funcionó para mí.

¿Alguna sugerencia?

¡ Gracias!

Answer 1

Editado Aquí es una versión mucho más simple de la respuesta anterior.

$$\int_0^1 \frac{x^4+1}{x^6+1}dx =\int_0^1 \frac{x^4-x^2+1}{x^6+1}dx+ \int_0^1 \frac{x^2}{x^6+1}dx$$

Después de cancelar la primera fracción y sustituía $y=x^3$ en la segunda obtenemos:

$$\int_0^1 \frac{x^4+1}{x^6+1}dx =\int_0^1 \frac{1}{x^2+1}dx+ \frac{1}{3}\int_0^1 \frac{1}{y^2+1}dy = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3} \,.$$

P.S. Gracias a Zarrax para señalar los errores estúpidos que hice...

Answer 2

El denominador del integrando $f(x):=\dfrac{x^{4}+1}{x^{6}+1}$ puede ser factorizado como \begin{eqnarray*} x^{6}+1 &=&\left( x^{2}+1\right) \left( x^{4}-x^{2}+1\right) \ &=&\left( x^{2}+1\right) \left( x^{2}-\sqrt{3}x+1\right) \left( x^{2}+\sqrt{3 }x+1\right) \end{eqnarray*}

Si expande $f(x)$ consigue

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=&\frac{2}{3}\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{6}\frac{1}{x^{2}-\sqrt{3}x+1}+ \frac{1}{6}\frac{1}{x^{2}+\sqrt{3}x+1} \\ &=&\frac{2}{3}\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{2}{3}\frac{1}{\left( 2x-\sqrt{3} \right) ^{2}+1}+\frac{2}{3}\frac{1}{\left( 2x+\sqrt{3}\right) ^{2}+1}. \end{eqnarray*}$$

Desde $$ \int \frac{1}{x^{2}+1}dx=\arctan x $$ y $$ \begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\left( ax+b\right) ^{2}+1}dx &=&\int \frac{1}{a\left( u^{2}+1\right) }\,du=\frac{1}{a}\arctan u \\ &=&\frac{1}{a}\arctan \left( ax+b\right), \end{eqnarray*} $$ tenemos $$ \begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\frac{x^{4}+1}{x^{6}+1}dx &=&\frac{2}{3}\int_{0}^{1}\frac{1}{% x^{2}+1}dx+\frac{2}{3}\int_{0}^{1}\frac{1}{\left( 2x-\sqrt{3}\right) ^{2}+1}% dx \\ &&+\frac{2}{3}\int_{0}^{1}\frac{1}{\left( 2x+\sqrt{3}\right) ^{2}+1}dx \\ &=&\frac{2}{3}\arctan 1+\frac{2}{3}\left( \frac{1}{2}\arctan \left( 2-\sqrt{3% }\right) -\frac{1}{2}\arctan \left( -\sqrt{3}\right) \right) \\ &&+\frac{2}{3}\left( \frac{1}{2}\arctan \left( 2+\sqrt{3}\right) -\frac{1}{2}% \arctan \left( \sqrt{3}\right) \right) \\ &=&\frac{1}{6}\pi +\frac{1}{3}\left( \arctan \left( 2-\sqrt{3}\right) +\arctan \left( \sqrt{3}\right) \right) \\ &&+\frac{1}{3}\left( \arctan \left( 2+\sqrt{3}\right) -\arctan \left( \sqrt{3% }\right) \right) \\ &=&\frac{1}{6}\pi +\frac{1}{3}\left( \arctan \left( 2-\sqrt{3}\right) +\arctan \left( 2+\sqrt{3}\right) \right) \\ &=&\frac{1}{6}\pi +\frac{1}{6}\pi \\ &=&\frac{1}{3}\pi, \end{eqnarray*} $$

debido a$^1$ $$ \arctan \left( 2-\sqrt{3}\right) +\arctan \left( 2+\sqrt{3}\right) =\frac{1}{ 2}\pi. $$

---

$^1$Aplicamos el arcotangente de fórmula adicional a $u=2-\sqrt{3}$ $v=2+\sqrt{3}$

$$ \arctan u+\arctan v=\arctan \frac{u+v}{1-uv}. $$ Desde que el producto se $uv=1$ y $\arctan \left( 2-\sqrt{3}\right) >0,\arctan \left( 2+\sqrt{3}\right) >0$, we get on the right $\arctan \dfrac{4}{1-1}= \dfrac{\pi }{2}.$

Answer 3

Un no tan simple pero divertida forma de computarlo:

Me indican el valor que buscamos. Con una extensión de la serie de energía del integrando, tenemos %#% $ de #% y otra serie de interversion de la suma, tenemos $$ I = 1 + 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{36n^2-1} $ reconocemos la función Dirichlet Eta evaluada en enteros incluso, así %#% $ de #% reconocimiento de la conocida serie exansion $$ I = 1 + 2\sum_{k=1}^\infty 6^{-2k}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2k}} $ $ tenemos $$ I = 1+\sum_{k=1}^\infty \frac{(2^{2k}-2)\pi^{2k}}{6^{2k}}\frac{|B_{2k}|}{(2k)!} $$ $$ 1 - \frac x2 \mathrm{cot} \frac x2 = \sum_{k=1}^\infty \frac{|B_{2k}| x^{2k}}{(2k)!},$ $ %f es la función anterior.

El cálculo trigonométrico no es trivial, pero finalmente encontramos $$ I = 1 + f(\pi / 3) - 2f(\pi/6), $ $

Answer 4

Primer sustituto $x=\tan\theta$. Simplifica el integrando, notando que $\sec^2\theta$ es un factor del denominador original. Utilizar la identidad de conexión $\tan^2\theta$ y $\cos2\theta$ escribir el integrando en términos de $\cos^22\theta$. Ahora la sustitución $t=\tan2\theta$ reduce el integral a una forma estándar, lo que prueba $\pi/3$ a ser la respuesta correcta. Este método parece algo rotonda en retrospectiva, pero requiere sólo sustituciones naturales, identidades trigonométricas estándar y simplificación algebraica sencilla.

Answer 5

una forma es fracciones parciales en $$ \frac{x^4+1}{x^6+1}=\frac{(x-e^{\pi i/4}) (x-e ^ {3\pi / 4}) (x-e ^ {5\pi i/4}) (x-e ^ {7\pi i/4})} {(x-e ^ {\pi i/6}) (x-e ^ {3\pi me/6}) (x-e ^ {5\pi i/6}) (x-e ^ {7\pi me/6}) (x-e ^ {9\pi i/6}) (x-e ^ {11\pi me/6})} $$ $$ = \frac{(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)}{(x^2+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)} $$