Encontrar el pdf de la variable transformada para la distribución uniforme

Question

Esto es del curso de Introducción a la Probabilidad y Estadística de MITx, el problema está en esta página.

Supongamos que $X \sim \textrm{Uniform}(0,1)$ y $Y=X^3$. Encuentra la función de densidad de probabilidad para $Y$.

Dado que es una distribución uniforme, creo que la función de densidad de probabilidad para X es $f(x) = \frac{1}{b-a}$, por lo tanto en este caso es simplemente 1. La función inversa de Y es, creo, $g^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$. La fórmula que tengo para encontrar la función de densidad de probabilidad para y es $f_y(y)=f_x(g^{-1}(y)) \left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|$. Entonces, parece que la función de densidad de probabilidad para y debería ser la derivada de la función inversa $g^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$.

He hecho esto muchas veces y sigo obteniendo la respuesta como $\frac{1}{3y^{2/3}}$, pero la página del curso dice que la respuesta es $\frac{1}{3}y^{-2}$. ¿Alguien podría explicarme por qué es así?

Answer 1

Una forma de verificar si estás en lo correcto, o si la página web lo está, es verificar si los pdfs se integran en 1. $ X $ está definido entre 0 y 1, por lo que $ Y = X^3 $ también está definido entre 0 y 1.

$$\int_0^1 \dfrac{1}{3} \dfrac{1}{y^2}dy = \dfrac{1}{3}\left[-\dfrac{1}{y} \right]^1_0 = \text{no converge}. $$

Entonces claramente la página web está equivocada.