¿Cuál es la diferencia entre una pelota y un barrio?

Question

Actualmente estoy leyendo el capítulo dos de Rudin, Principios de Análisis Matemático (ed. 3). Él proporciona las siguientes definiciones:

Definición: Si $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R} ^ k$$r > 0$, el open de bola de $B$ con el centro en $\boldsymbol{x}$ y radio de $r$ se define como el conjunto de todos los $\boldsymbol{y} \in \mathbb{R} ^ k$ tal que $| \boldsymbol{y} - \boldsymbol{x} | < r.$

Definición: Una vecindad de un punto de $p$ es un conjunto $N_r(p)$ consta de todos los puntos de $q$ tal que $d(p,q) < r$. El número de $r$ se llama el radio de $N_r(p)$.

Lo que he estado tratando de averiguar es cuál es la diferencia entre estas dos definiciones. Ilya, en la siguiente pregunta se proporciona la siguiente descripción:

"La vecindad de un punto de $x\in \Bbb R$ es cualquier subconjunto $N_x\subseteq \Bbb R$ que contiene algunos de bolas $B(x,r)$ alrededor del punto de $x$. Tenga en cuenta que, en general, uno no se pregunta el vecindario para abrir sets, pero depende de que el autor de un libro de texto que usted tiene en las manos."

En Kaplansky, la Teoría de conjuntos y Espacios Métricos se presenta un ejemplo en donde mediante el establecimiento de la distrance función de $d(p,q) = |a-b|$, obtenemos un espacio métrico. Entonces la combinación de esta declaración y el parte de Ilya la respuesta de que un barrio contiene algunos de pelota, una pelota es como un caso especial de un barrio.

Los siguientes dos teoremas parecen dar soporte para este caso:

Teorema $27$ de Kaplansky: Cualquier bola abierta en un espacio métrico es un conjunto abierto.

Teorema $2.19$ de Rudin: Cada barrio es un conjunto abierto.

Así que, esencialmente, ambas están abiertas establece, sin embargo, el barrio tiene más general de la función de distancia.

Agradecería alguna aclaración sobre este asunto.

Answer 1

Como ya hemos visto, diferentes textos definir sus términos de manera algo distinta, pero las definiciones más comunes son como sigue:

• Si $(X,d)$ es un espacio métrico (o un pseudometric espacio), entonces la bola abierta de radio $r > 0$ sobre el punto de $x \in X$ es el conjunto de todos los $y \in X$ tal que $d(x, y) < r$.
• Si $(X,d)$ es un espacio métrico (o un pseudometric espacio), entonces un conjunto $U \subseteq X$ es abierto si para cada una de las $x \in U$ hay un $r > 0$ de manera tal que la bola abierta acerca de $x$ radio $r$ es un subconjunto de a $U$.
• Un barrio abierto de un punto de $x$ en un espacio métrico (o, de hecho, cualquier espacio topológico) es cualquier conjunto abierto que contiene a $x$.
• Una vecindad de un punto de $x$ en un espacio métrico (o cualquier espacio topológico) es cualquier subconjunto del espacio, como un subconjunto abierto barrio de $x$.

Cuidado: las notaciones utilizadas para abrir bolas variar radicalmente entre los diferentes textos, con casi todas las permutaciones de donde el punto va, donde la radio se va, y (en algunos casos) cuando el nombre de la métrica va.