Irreducibilidad de $X^n-a$

Question

Sea ${\mathbb K}$ un subcampo de ${\mathbb C}$. Sea $a\in{\mathbb K}$ tal que $X^d-a$ no tiene raíces en ${\mathbb K}$, para cualquier divisor $d>1$ de $n$. ¿Se deduce que $X^n-a$ es irreducible sobre $\mathbb K$?

Answer 1

Aquí está el teorema general sobre tal

Teorema $\ $ Supongamos $\rm\:c\in F\:$ un campo, y $\rm\:0 < n\in\mathbb Z\:.$

$\rm\quad x^n - c\ $ es irreducible sobre $\rm\:F \iff c \not\in F^p\:$ para todos los primos $\rm\:p\: |\: n\:$ y $\rm\ c\not\in -4\:F^4\:$ cuando $\rm\: 4\ |\ n\:.$

Una prueba se encuentra en muchos libros de Teoría de Campos, por ejemplo, Karpilovsky, Temas en Teoría de Campos, Teorema 8.1.6.

Answer 2

No, no es así. Toma $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, $a=-1$, $n = 4$. Observa que $X^2 + 1$ y $X^4 + 1$ no tienen raíces en $\mathbb{R}$, pero $$X^4+1 = (X^2 + \sqrt{2}X + 1)(X^2 - \sqrt{2}X + 1)$$