Los pueblos se deshacen también.

Question

Que $F$ ser un $C^2$-hipersuperficie (o $n$-variedad) en $\mathbb{R}^{n+1}$. Supongo que $F$ no es orientable. Ya que no puedo elegir un campo normal global continuo, ¿qué consecuencias tiene esto para la segunda forma fundamental? Específicamente, si se inicia la curvatura media y curvatura de Gauss de la computación como funciones $F$, no ¿tengo ninguna esperanza de continuidad para estas funciones?

¡Gracias!

Answer 1

Yo generalmente trato con las superficies en $\mathbb{R}^3$, entonces lo que sigue se ocupa específicamente con este caso, aunque creo que la mayoría de los que lleva sin problema a hypersurfaces de codimension 1 en $\mathbb{R}^n$:

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Aunque por lo general se explica el uso de la forma del operador, la curvatura de Gauss es, de hecho, solamente una función de la métrica; esto es, de Gauss, se celebra "atroz teorema." La curvatura gaussiana es, por tanto, bien definido (y continua) en un no-orientable de Riemann colector. (Para algunos la intuición, usted puede pensar de la curvatura Gaussiana en un punto como comparar el área de un Euclidiana disco para que de una geodésica disco, en el límite de la radio llega a cero. Una esfera parecida a punto de curvatura positiva tiene déficit en su barrio, mientras que un punto negativo en la curvatura Gaussiana tiene superávit.)

Invirtiendo la orientación de una superficie niega la media de la curvatura. Para ver esto se puede ver en la segunda forma fundamental, o, alternativamente, aviso de que la inversión de la orientación de una curva niega la curvatura de la curva, y así revertir la orientación de una superficie niega los dos principales curvaturas $\phi_1, \phi_2$. Si la superficie no orientable, usted puede, por supuesto, todavía orientar a la superficie del local; a nivel mundial, no han continuo significa curvatura, pero usted tendrá continua de la media de la curvatura de la magnitud $|H|$. Por otra parte la media de la curvatura del cuadrado de $H^2$ está bien definida y continua en un no-orientable de la superficie, lo que lleva a la interesante observación de que Wilmore energía $2H^2-K$, que rige la física de cómo un elástico de la placa se deforma, está bien definido en la botella de Klein, por lo que es perfectamente posible simular el comportamiento físico de un elástico de la botella de Klein como si se tratara de un objeto real.

Por último, para ampliar Juan comentario: la de Laplace-Beltrami operador $\Delta$ en un colector requiere sólo una métrica de Riemann y no orientability. Para una orientada a la superficie en $\mathbb{R}^3$ con la inducida por la métrica, $$(\Delta r)(q) = 2H(q)N(q)$$ donde $r(q) = [x(q), y(q), z(q)]$ es el vector de valores de función de las coordenadas de la incrustación, y $N$ es la normal de la superficie. El lado izquierdo no requiere orientability, mientras que el derecho, por supuesto, sí, de modo que podamos ampliar la noción de la media de la curvatura normal de la $HN$ a los no-orientable de superficies con esta identidad.