Homomorphism entre homotopy grupos de esferas inducida por el fibration y la multiplicación mapa de $SO(n)$

Question

Deje $n$ ser un entero no negativo y $x\in S^n$ a un punto en la n-esfera.

Combinando el mapa de $\alpha\colon SO_{n+1}\longrightarrow S^n$ inducida por la multiplicación de la matriz con $x$ y la conexión de homomorphism de la fibration $SO_{n+1}\rightarrow SO_{n+2}\rightarrow S^{n+1}$, se obtiene un grupo de homomorphism:

$$\mathbb{Z}\cong\pi_{n+1}(S^{n+1})\rightarrow\pi_n(SO_{n+1})\rightarrow\pi_n(S^n)\cong \mathbb{Z},$$ which is multiplication with some $\lambda\in\mathbb{Z}$. The number $\lambda$ is (up to sign) independent of the chosen isomorphism and the point $x$.

Quiero calcular el $\lambda$. Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Finalmente encontré una respuesta a mi pregunta: $\lambda$ es hasta firmar siempre $2$ si $n$ es impar y $0$ si $n$ es incluso.

Un boceto de una prueba se puede encontrar en Levine "Conferencias sobre grupos de homotopy esferas" en la página 64.

Answer 2

Creo que la respuesta a su pregunta puede variar ampliamente, dependiendo de la $n$. Por ejemplo, para $n=3,5$ $7$ (mod 8), $\pi_{n-1}SO_{n}$ es conocido por ser $\mathbb{Z}/2$, que es la torsión (por lo tanto,$\lambda=0$). Hay una lista completa de los homotopy grupos $\pi_{n-1}SO_{n}$ en el libro "la Topología de la Mentira grupos" por Mimura Toda.