Normativa Espacio Lineal: ¿por Qué $\|x_n\|\to 0$ implican $x_n \to 0$?

Question

Puedo probar el contrapositivo:

$x_n$ no tienden a $0$ implica:

1. $x_n$ diverge (no converge), en cuyo caso tampoco se $\|x_n\|$, o
2. $x_n$ converge a$x \neq 0$, lo que implica $\|x_n\|$ converge a $\|x\|\neq 0$.

Bien, pero hay una forma más simple de hacer esto?

Answer 1

Usted puede comprobar esto directamente:

Recordemos que $x_n\to x$ si para cada a $\epsilon>0$ hay algo de $n_0$ tal que para todos los $n>n_0$ tenemos $\|x_n-x\|<\epsilon$.

Si $\|x_n\|\to 0$ esto significa que el $\|x_n-0\|$ tiende a cero y, por tanto, $x_n$ converge a $0$.