Sobre la integridad de $l^{\infty}$ con respecto a la norma sup

Question

Dejemos que $l^{\infty}$ sea el espacio de todas las secuencias acotadas de números reales $(x_n)_{n =1}^{\infty}$ con la norma sup. Tengo que demostrar que $l^{\infty}$ es completa con respecto a esta norma.

Prueba: En la prueba de abajo estoy confundido con la secuencia $x^n = (x_1^{n},x_2^{n}\ldots )$ . No soy capaz de visualizar esta secuencia. ¿Cómo se puede formar esta secuencia? Es $(x^{n})$ es una colección de secuencias de Cauchy?

$x_1^{n}$ , $x_2^{n}$ son diferentes secuencias de Cauchy pueden estar convergiendo a diferentes puntos así que cómo podemos asumir que $(x^{n})$ convergerá al punto fijo $x$ ?

Por favor, ayúdenme a entender esto. Cualquier ejemplo numérico que lo apoye será de gran ayuda. Gracias

Answer 1

Elementos de $l^\infty$ son secuencias. Hay que demostrar que una sucesión de Cauchy en $l^\infty$ converge.

Utilizando una notación diferente, consideremos una secuencia de Cauchy $(x_n)$ en $l^\infty$ . Cada $x_n$ es a su vez una secuencia; denotémosla por $$ x_n(0), x_n(1), \dots $$ Por lo tanto, si $x_n$ es la secuencia $1, 1/3, 1/5,\dotsc$ (los recíprocos de los enteros Impares), tendrías $x_n(0)=1$ , $x_n(1)=1/3$ y así sucesivamente. Así, $x_n(k)$ significa "el $k$ -término en el $n$ -ésimo elemento de la secuencia con la que empezamos". La página del libro que muestra simplemente escribe esto como $x^n_k$ .

Así que cada $x_n$ (o $x^n$ en la notación del libro) es un limitado secuencia, no de Cauchy, porque es un elemento de $l^\infty$ . No se supone en absoluto que $x_n$ converge (la mayoría de los elementos de $l^\infty$ no). Es la secuencia (de secuencias) $x_0,x_1,\dotsc$ que es una secuencia de Cauchy bajo la norma sup.

El hecho de que $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy significa que, para todo $\def\eps{\varepsilon}\eps>0$ , hay $N$ tal que, para $n,m>N$ $$ \|x_n-x_m\|<\eps $$ es decir, $$\sup_k|x_n(k)-x_m(k)|<\eps,$$ lo que implica $$ |x_n(k)-x_m(k)|<\eps, \text{ for all } k. $$ (sería equivalente si utilizáramos $\le\eps$ en todo momento).