¿Cómo comprobar si una matriz de $4\times4$ simétrica es positiva semi definida?

Question

1. ¿Cómo uno comprobar si simétrico $4\times4$ matriz es positiva definida semi?

2. ¿Y si esta matriz tiene también deficiencia de rango: es la fila 3?

Answer 1

Otro método es comprobar que no hay negativa de los ejes en fila reducción (después de tomar en cuenta la posibilidad de 0 en el diagonal). El procedimiento puede ser escrito de forma recursiva de la siguiente manera:

1) Si $A$$1 \times 1$, entonces es positivo semidefinite iff $A_{11} \ge 0$.

De otra manera:

2) Si $A_{11} < 0$, $A$ no es positivo semidefinite.

3) Si $A_{11} = 0$, $A$ es positivo semidefinite iff la primera fila de $A$ es todos los 0 y la submatriz obtenida por la eliminación de la primera fila y columna es positivo semidefinite.

4) Si $A_{11} > 0$, para cada una de las $j > 1$ restar $A_{j1}/A_{11}$ veces la fila 1 a partir de la fila $j$, y, a continuación, elimine la primera fila y la columna. A continuación, $A$ es positiva semidefinite iff la matriz resultante es positivo semidefinite.

Answer 2

Puesto que la matriz es simétrica, los valores propios será reales. Calcular los valores propios y ver si están todas las $\geq 0$. Si esto es cierto, la matriz es positiva semidefinite.

Answer 3

Como se indicó anteriormente, Sylvester criterio no funciona en este caso, así que usted no puede simplemente marque los cuatro líderes principales de los menores de edad. Sin embargo, no basta para comprobar que todos los 15 de los principales menores de edad son no negativos. Ver aquí para una referencia.

Otro enfoque básico consiste simétrica reducción de la fila. Esto implica operaciones del siguiente tipo:

1. Realizar una operación de filas y, a continuación,
2. Realizar de forma inmediata la correspondiente columna de la operación.

Por ejemplo, usted puede multiplicar una fila por una constante, siempre y cuando usted inmediatamente multiplicar la columna correspondiente por una constante. Tenga en cuenta que esto multiplica la diagonal de la entrada por la plaza de la constante.

Mediante estas operaciones, puede utilizar una variante de la eliminación Gaussiana para reducir cualquier matriz simétrica una matriz diagonal con 1, 0 y -1 a lo largo de la diagonal. Una matriz es positiva semidefinite si y sólo si el resultado de la diagonal de todas las entradas son 0's y 1's.

Answer 4

Digamos que su matriz es $A$.

Usted puede comprobar los valores propios. Si todos los autovalores $\geq 0$, la matriz es positiva semi-definitiva (si todos los autovalores $>0$ es positiva definida).

Podría ser posible utilizar la Gershgorin círculo teorema en lugar de calcular los autovalores de forma explícita. Si todos los elementos de la diagonal son positivos y son mayores que o igual a la suma de los valores absolutos de los otros elementos de la misma fila (o columna) (para cada elemento diagonal), entonces la matriz es positiva semi-definida.

Usted puede tratar de encontrar más simple semi-definida la matriz de $B$ tal que $B^2 = A$ ($B$ es único). Este es, en general, hacer uso de la diagonalización de la matriz, por lo que probablemente será más fácil el cálculo de los autovalores.

Usted puede no usar una modificación de Sylvester criterio ("todos los líderes principales de los menores de edad son no negativos") para determinar positivo semidefiniteness.

Si $A$ $4 \times 4$ y el rango de 3, tiene 0 como un valor propio (ya que existe un vector $v$ tal que $Av = 0v$). Esto no afecta a la positiva semi-definición de la matriz, pero no va a ser positiva definida.

Answer 5

Una primera comprobación rápida, si es negativo cualquier elemento $A_{ii}$ en la diagonal, la matriz tiene un valor propio negativo (para matrices simétrica sólo por supuesto)