(No)Formalidad de Una infinidad de álgebra implica derivados (no)equivalencia?

Question

Tomar un unital diferencial graduada (dg) $k$-álgebra $A$, se puede considerar como $A_\infty$-álgebra con $m_1$ diferencial e $m_2$ como álgebra de multiplicación, y $m_n=0$ o todos los $n\geq 0$. Tomar un dg $A$-módulo de $M$, entonces podemos formar la $A_\infty$-álgebra $B=End_A(M)$.

Podemos decir $B$ es formal si la homología $H^*(B)$ es cuasi-isomorfo a $B$. Al parecer, la formalidad de $B$ implica derivados (dg) de equivalencia, es decir, la equivalencia entre los derivados de la dg categorías $D(A)$$D(B)$, y por lo tanto con $D(H^*(B))$. ¿Es esto cierto? Donde puedo encontrar una referencia exacta de la cual los estados algo como esto? He mirado a través de Profesor Keller nota "Introducción a $A_\infty$-álgebra y los módulos", pero no parece ver algo como esto.

Por otra parte, es a la inversa declaración verdad? es decir, si $B$ no es formal, entonces no hay ninguna derivados de la equivalencia entre los $D(A)$$D(H^*(B))$.?

Answer 1

Una respuesta parcial a la pregunta: teniendo en cuenta el caso de Koszul doble álgebras y sus deformación de cuantización w.r.t. cuadrática estructuras de Poisson es posible encontrar la derivada de la equivalencia de estado considerando adecuado trianguladas subcategorías de la $A_{\infty}$ categorías derivadas (no el dg). Es posible afirmar también bastante general de los resultados (siempre relacionado con las subcategorías en las categorías derivadas y el uso de Koszul dualidad) en el caso clásico. Por favor, compruebe

http://arxiv.org/abs/0710.5492 (clásicos de la dg de los casos)

http://arxiv.org/abs/1206.2846 ($A_{\infty}$ y cuantificada de los casos)

Importante: los derivados de las equivalencias son probados por el uso de bimodules.

EDITAR Las anteriores referencias de estudio derivados de equivalencias (en la dirección general y el $A_\infty$-de los casos) de las categorías de módulos de más de 2 álgebras de $A$, $B$, s.t. existe una $A$-$B$-bimodule $M$, lo que da cuenta de las equivalencias. En el $A_\infty$-en el caso de la $A_\infty$-bimodule $M$ s".t. el $A_\infty$-acciones $A \rightarrow End_B(M)$ $B \rightarrow End_A(M)$ son cuasi-isomorphisms. Estos son conocidos como los Keller condiciones. Ellos son los principales supuestos para seguir adelante. Como $A$ $B$ han trivial diferenciales en el ejemplo en consideración, a continuación,$A\simeq H(End_B(M))$$B\simeq H(End_A(M))$.

Como puede ver este es un adecuado $A_\infty$-Koszul la dualidad de la teoría de las álgebras de $A$$B$. El ajuste no es el que usted describe en su pregunta (la suya se basa en una sola álgebra y el módulo!), pero es bastante frecuente en las aplicaciones. Para la teoría de la dg caso, por favor, compruebe Rickard del papel

http://www1.ahu.edu.cn/math/mathweb2/wrta2012/download/III-4-Morita-theory-for-derived-categories.pdf