Wess-Zumino Medidor no Abelian teoría supersimétrica

Question

Tengo una pregunta sobre la falta de Abelian supersimétricas medidor de teorías.

Considere la posibilidad de supersimétricas no Abelian teoría realizado en quirales superfields $\Phi_i$ en representación $R$ con la matriz de generadores $T_{i}^{aj}$. Vamos a definir supergauge transformación como $$\Phi_i \rightarrow (e^{2\imath g_a \Omega^a T^a})_{i}^{j} \, \Phi_j,$$ El supergauge invariante en el plazo de lagrange es $$\mathcal{L} = \Bigl[\Phi^{*i}\,(e^V)_i^j \, \Phi_j\Bigr]_D$$ Para que esto sea gauge invariantes, la no-Abelian medidor de transformación para el vector de campo debe ser $$e^V \rightarrow e^{\imath \Omega^\dagger}\,e^V\,e^{-\imath \Omega}.$$ El uso de Baker-Hausdorff fórmula, obtenemos $$V^a \rightarrow V^a + \imath(\Omega^{a*}-\Omega^a)+g_a \, f^{abc}\,V^b(\Omega^{c*}+\Omega^c)+...$$ Por lo general en este momento argumentan que, dado que el segundo término en el lado derecho no depende de la $V^a$, siempre se puede hacer un supergauge transformación de Wess-Zumino calibre eligiendo $\Omega^{a*}-\Omega^a$ adecuadamente.

Este es el momento en que yo no entiendo. ¿Qué significa esto? Estrictamente hablando, la última expresión es complicado no lineal de ecuaciones en componentes de $V^a$ superfield.

Supongo que quiere decir, que desde el segundo término en r.h.s. no depende de $V^a$, es posible resolver en el marco de la teoría de la perturbación en la constante de acoplamiento(s) $g_a$. Es correcto? Si es así, como para demostrar que el estrictamente en todos los órdenes?

Answer 1

I) El indicador de la transformación de la real medidor de campo $V$ lee

$$ \exp(\tilde{V}) ~=~e^Xe^Ve^Y, \qquad X~:=~i\Omega^{\dagger}, \qquad Y~:=~-i\Omega. \tag{1}$$

Mantener sólo lineal pedidos en $\Omega$, el BCH fórmula de lee

$$\tilde{V}~=~B({\rm ad} V)X+V+B(-{\rm ad} V)Y$$ $$~=~V+\frac{1}{2}[V,Y-X]+B_+({\rm ad} V)(X+Y),\tag{2} $$

donde

$$ B(x)~:=~\frac{x}{e^x-1}~=~\sum_{m=0}^{\infty}\frac{B_m}{m!}x^m$$ $$~=~1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+\frac{x^6}{30240}+{\cal O}(x^8) \tag{3} $$

y

$$ B_+(x)~:=~\frac{B(x)+B(-x)}{2}~=~\frac{x/2}{\tanh\frac{x}{2}}$$ $$~=~1+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+\frac{x^6}{30240}+{\cal O}(x^8) \tag{4} $$

son funciones de generación de números de Bernoulli.

II) Nos gustaría $\tilde{V}$ a estar en WZ calibre

$$ \tilde{V}~=~{\cal O}(\theta^2) .\tag{5} $$

Por $V$, $\tilde{V}$, y $X-Y$, la nca. (2+5) es un afín$^1$ ecuación en $X+Y=i\Omega^{\dagger}-i\Omega$. Esto ha formalmente una solución si el operador

$$B_+({\rm ad} V)~=~{\bf 1} + \ldots \tag{6} $$

es invertible, lo cual es cierto, al menos perturbativa. Para finalizar la prueba, se debe escribir la ecuación en su superfield componentes para verificar que el anterior afín mecanismo de desplazamiento de la realidad se realiza en el nivel de componente. Recordemos por ejemplo, que el medidor de campo $\tilde{V}$ puede no ser controlado por completo (= poner a cero), ya que $\Omega$ es un quirales superfield no es suficiente con $\theta$'s para llegar a todos los componentes de $\tilde{V}$, por así decirlo.

Referencias:

1. S. P. Martin, Una Supersimetría Imprimación, arXiv:hep-ph/9709356; p.43.

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$^1$ Un afín ecuación es una ecuación lineal con una homogénea term/término fuente.

Answer 2

Wess-Zumino calibre es una elección particular de calibre donde el vector superfield tiene una forma particular y tiene menos componentes que el vector genérico super campo. Así que si yo soy libre para hacer un medidor de transformación que puede elegir los componentes de la quirales super campo $\Omega$ de manera que la suma de los $\theta$ (o cualquier otro "$\theta$ componente" quiero eliminar para llegar a la WZ calibre) de la quirales y el vector super campo igual a cero.