Una conjetura acerca de las particiones

Question

Tratando de probar un resultado en el grupo de teoría que se me ocurrió la siguiente conjetura sobre las particiones:

Deje $b(i,j)$ el número de particiones de $i$ con la mayor parte exactamente igual a $j$ , para todos los $i,j\in\mathbb{N}$. Supongamos que para $m\in\mathbb{N}$, $a(m)$ indica el número de particiones de $m$ con cada parte, al menos,$2$ . A continuación, el siguiente se tiene: $$\sum_{i+j=m} b(i,j)=a(m).$$

Tengo que probar o refutar la anterior conjetura. He comprobado primeros casos donde se mantiene fiel. Traté de inducción y algunos bijection argumentos, pero no tuvo éxito. Cualquier idea será bienvenida.

Answer 1

Usted puede dar un bijection argumento: Interpretar $b(i,j)$ como el número de particiones de $m=i+j$ con la mayor parte $j$ ocurren al menos dos veces. A continuación, el LHS cuenta el número de particiones de $m$ con la mayor parte ocurren al menos dos veces.

Ahora dan un bijection del conjunto de particiones de $m$ con la mayor parte ocurren al menos dos veces para el conjunto de particiones de $m$ con cada parte, al menos, $2$ por la rotación de la correspondiente diagrama de Ferrers.