Considere la función (que provienen de un conjunto de densidad de probabilidad): $$ f(x,y) = \frac{1}{y}e^{-y-\frac{x}{y}}. $$
Quiero evaluar la integral definida (marginal): $$ F(x) = \int_0^\infty f(x,y)\,dy. $$
Es muy difícil encontrar una primitiva en $y$, así que lo que hice fue la siguiente solución: $$ \int f(x,y)\,dx = -e^{-y-\frac{x}{y}}. $$
Así que si dejamos $g(x,y):= -e^{-y-\frac{x}{y}}$, podemos escribir: $$ f(x,y) = \frac{\partial g}{\partial x}(x,y). $$
Por lo tanto: $$ F(x) = \int_0^\infty \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\,dy. $$
Ahora, el truco fue: podemos mover la derivación de la integral? Bajo qué supuestos? Si ese fuera el caso, podríamos escribir: $$ F(x) = \frac{d}{dx} \int_0^\infty g(x,y)\,dy, $$
que puede ser calculado en términos de funciones de Bessel:
$$ F(x) = \frac{d}{dx} \int_0^\infty -e^{-y-\frac{x}{y}}\,dy = -\frac{d}{dx} \big(2\sqrt{x}\,K_1(2\sqrt{x})\big). $$
Derivados: $$ F(x) = K_0(2\sqrt{x}) - \frac{1}{\sqrt{x}}\,K_1(2\sqrt{x})+K_2(2\sqrt{x}). $$
(Los dos últimos pasos de acuerdo a Wolfram Alpha, por $x\ge 0$.) El $K_n$ debe ser el de "modificación funciones de Bessel de la 2ª clase".
Me gustaría preguntar:
- Es "legal" para llevar a la derivada de la integral de la señal?
- Son los dos últimos (Wolfram Alpha) pasajes correcta?
- ¿Hay alguna otra manera de obtener la $F(x)$? ¿Cuál es el resultado?
Gracias.
