Determinación del radio de convergencia de una serie de potencias alternas

Question

Tengo una serie de potencia alterna dada: $$\sum\limits_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n2^n}\cdot x^n$$ y necesito encontrar el radio de convergencia.

Yo mismo he probado con esta tarea y he encontrado una respuesta, pero no estoy seguro de estar en lo cierto.

Puedo ver fácilmente que la serie se alterna. Así que pensé en utilizar la prueba de series alternas (Criterio de Leibniz) para ver, si esta serie converge.

He calculado: $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n2^n} = 0$$ y esto es obviamente correcto: $$\frac{1}{n2^n}\geq \frac{1}{(n+1)2^{(n+1)}}$$

Así que creo que puedo estar seguro de que la serie converge, pero ¿qué pasa con el radio de convergencia? Pensé en usar esto, para determinar el Radio, $r$ :

$$r =\ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|.$$

Aplicado en mi serie dada:

$$\left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| = \frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^n}=2\frac{n+1}{n} \longrightarrow 2$$

Por eso creo que el radio de convergencia debe ser $\lvert x \rvert \leq 2$

¿Estoy en lo cierto?

PD: se han hecho algunas ediciones para mejorar el látex

Answer 1

Sí, tienes razón en tu método: determinar el radio de convergencia de cualquier serie de potencias es cuestión de utilizar la prueba de razón o raíz en la valor absoluto del término general, lo que ha hecho correctamente.

Está garantizado que su serie converge para $|x| \lt 2$ es decir $2$ es el radio de convergencia. Lo que ocurre en $x = 2$ y en $x = -2$ entonces hay que comprobarlo, si queremos saber qué ocurre en los límites del radio de convergencia.