Demostrar que $1 + 4 + 7 + · · · + 3n − 2 = \frac {n(3n − 1)}{2}$

Question

Probar que $$ 1 + 4 + 7 + · · · + 3n − 2 = \frac{n (3n − 1)} 2$ $

para todos los enteros positivos $n$.

Prueba: $$1+4+7+\ldots +3(k+1)-2= \frac{(k + 1)[3(k+1)+1]}2$ $
$$\frac{(k + 1)[3(k+1)+1]}2 + 3(k+1)-2$$

A lo largo de mi prueba yo estoy atascado en la sección anterior donde se se mostrarán:

es equivalente a $\dfrac{(k + 1)[3(k+1)+1]}2 + 3(k+1)-2$ $\dfrac{(k + 1)[3(k+1)+1]}2$

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Derivación no inductiva:

\begin{align} \sum_{k=1}^n(3k-2) &= \sum_{k=1}^n3k -\sum_{k=1}^n2\\ &= 3\left(\sum_{k=1}^n k\right) -2n\\ &= \frac{3(n)(n+1)}{2} - \frac{4n}{2}\\ &=\frac{3n^2-n}{2}\\ &= \frac{n(3n-1)}{2}\\ \end {Alinee el}

Esto, por supuesto, depende de uno saber la suma de los primeros $n$ los números naturales, pero es una identidad conocida.

Answer 2

Suma de los términos primeros y últimos = $1 + (3n-2) = 3n-1$

Suma de términos de th 2 y (n-1) = $4 + (3n-5) = 3n-1$

Suma de 3 términos (n-2) th = $7 + (3n-8) = 3n-1$

$...$

Suma de términos de th y 2 (n-1) = $(3n-5) + 4 = 3n-1$

Suma de n-ésimo (último) y términos 1 = $(3n-2) + 1 = 3n-1$

Se suman ambos lados.
$(1+4+...+(3n-2)) + (1+4+...+(3n-2)) = n(3n-1)$

que significa:
$2(1+4+...+(3n-2)) = n(3n-1)$
o

$1+4+...+(3n-2) = n(3n-1)/2$

Answer 3

El caso base es trivial, ahora seguimos el paso inductivo por asume la hipótesis de inducción y prueba para $n + 1$. Por lo tanto:

\begin{align*} 1 + 4 + 7 + ... + 3n-2 + 3(n+1)-2 & = \frac{n(3n-1)}{2} + 3(n+1)-2\\ & = \frac{n(3n-1)}{2} + \frac{2(3(n+1)-2)}{2}\\ & = \frac{3n^{2}-n+6n+6-4}{2}\\ & = \frac{3n^{2}+5n+2}{2}\\ & = \frac{(n+1)(3n+2)}{2}\\ & = \frac{(n+1)(3(n+1)-1)}{2} \end{align*} y ya terminamos. Lo importante es saber cuando aplicar la inducción.

Answer 4

% Llamada $S = 1 + 4 + \ldots + [3n-2]$.

Sume los números en la dirección contraria: $S = [3n-2] + [3n-5] + \ldots + 1$.

Añadir las dos ecuaciones término por término: $2S = (1 + [3n-2]) + (4 + [3n - 5]) + \ldots + ([3n-2]+1) = n (3n-1)$.

Answer 5

La fórmula debe ser un polinomio cuadrático (porque su primera diferencia de orden es un polinomio linear) y tiene tres coeficientes independientes. Hay que para identificar tres diferentes valores de $n$:

$$\begin{align}1=\frac{1(3\cdot1-1)}2 \\1+4=\frac{2(3\cdot2-1)}2 \\1+4+7=\frac{3(3\cdot3-1)}2\end {Alinee el} $$ esto completa la prueba para cualquier $n$!