$2^n$ subconjuntos del conjunto de con $n$ elementos $\overset{?}{\implies}$ $\mathbb{R}$ ha $2^\infty=\infty$ subconjuntos

Question

Me han dicho que hay $2^n$ subconjuntos de un conjunto con $n$ elementos, pero ¿esto implica que $\mathbb{R}$ $2^\infty=\infty$ subconjuntos?

Answer 1

Los cuatro sistemas de numeración en este contexto:

1. Los números cardinales,
2. Los números reales,
3. Los números ordinales,
4. Números naturales.

Cuando hablamos de finito de operaciones (por ejemplo, adición, multiplicación y exponenciación con un número finito de términos) de los números naturales incrustar en cada uno de los otros tres, y se comportan de la misma manera. Esta es la razón por la que podemos pensar de $n$ como cardinal, ordinal, y así sucesivamente.

Pero cuando nos movemos a infinitary operaciones y procesos que involucran a los límites, a continuación, ningún sistema de número es igual a otro. En particular, el proceso de límite de $2^n$ $n$ crece más grande no es el mismo en cualquiera de los sistemas:

1. En los números cardinales de la función de la energía no es continua, $\sup 2^n=\aleph_0<2^{\sup n}=2^{\aleph_0}$.
2. En el ordinal los números de la exponenciación es continua, $\sup 2^n=\omega=2^\omega$ (nota, $\omega$ a veces es usado para denotar el cardenal $\aleph_0$, pero en este contexto es ordinal exponenciación, y no exponenciación cardinal anterior).
3. En los números reales $2^n$ no tiene un límite finito, por lo que se escribe como $\infty$, ya que permiten fracciones podemos pedir de una manera significativa si otra secuencia $a_n$ crece "más rápido" o "lento" de $2^n$ y tener algún sentido que podemos extraer de $\frac\infty\infty$ y similar indeterminado de situaciones.
4. Mientras que la anterior consideración pueden ser debidamente investigados en el contexto de los números naturales, ya que los resultados a menudo termina siendo algo que no sea un número entero que en realidad no investigar en los enteros, sino más bien en los números reales. Por esta razón digo que en los números naturales no es ningún significado a los límites y infinitary operaciones (por ejemplo, adición o multiplicación y exponenciación con infinidad de términos).

Así que cuando se dice que el $2^n\to2^\infty$ cambiar el contexto de los números reales a los números cardinales, y hay que ejecutar en otros dos problemas:

1. El hecho de que el cofinality de los números reales es contable (es decir, usted tiene una contables conjunto ilimitado en los números reales), pero si tenemos en cuenta el cardenal $2^{\aleph_0}$ tiene innumerables cofinality (siempre que la partición de los números reales en countably muchos conjuntos, uno de ellos será de tamaño continuum).
2. Usted ha utilizado el ordinal exponenciación, que es continua en el límite de puntos, en lugar de exponenciación cardinal que no, de modo que el resultado es mal así.

Answer 2

Un poco... pero en realidad no.

Tenga en cuenta que dos conjuntos de $A$ $B$ se dice que tienen la misma cardinalidad si hay un uno-a-uno la función $h : A \to B$ que se asigna a $B$. Podemos entonces concebir abstracto de los números para indicar la cardinalidad de los conjuntos, y escribir $|A|$ para la cardinalidad del conjunto de $A$. Para finito de conjuntos de estos números es el habitual recuento de los números; por infinito de conjuntos tenemos que tener más cuidado, pero los datos no son estrictamente necesarios. Una vez hecho esto, podemos definir ciertas aritmética de las operaciones en estos números cardinales. Como un ejemplo:

Dados dos números cardinales $\kappa$ $\lambda$ definimos el exponente $\lambda^\kappa$ a la cardinalidad del conjunto $$\{ f : f\text{ is a function from }A\text{ into }B \}$$ where $Un$ and $B$ are any two sets with $|A| = \kappa$ and $|B| = \lambda$.

En particular, $2^\kappa$ es la cardinalidad del conjunto $$\{ f : f\text{ is a function from }A\text{ into }\{ 0,1 \} \}$$ where $Un$ is any set with $|A| = \kappa$.

Se puede demostrar que esta definición está de acuerdo en lo finito cardenales; es decir, si $m,n$ son números naturales (es decir, no tanto en $0$ para evitar el $0^0$ de los casos), entonces el cardenal exponente $n^m$ está de acuerdo con la aritmética habitual exponente.

Por otra parte, se puede demostrar que $2^\kappa$ es igual a la cardinalidad del juego de poder $\mathcal{P} (A)$ donde $A$ es cualquier conjunto con $|A| = \kappa$.

Definir una función $h : \{ f : f\text{ is a function from }A\text{ into }\{ 0,1 \} \} \to \mathcal{P} (A)$ $$h (f) = \{ x \in A : f(x) = 1 \}.$$

Sin embargo, la génesis de la teoría de conjuntos fue el descubrimiento por Cantor que hay diferentes magnitudes de infinito. Aunque los conjuntos

• $\mathbb{N}$, el conjunto de los números naturales;
• $\mathbb{Z}$, el conjunto de los números enteros;
• $\mathbb{Q}$, el conjunto de los números racionales

tienen la misma cardinalidad, el conjunto $\mathbb{R}$ ha estrictamente mayor cardinalidad, en el sentido de que no son de uno a uno las funciones de $f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, pero no hay tal función asigna a $\mathbb{R}$; este es el Cantor de la famosa diagonalisation prueba. Como tal, el símbolo de $\infty$ no puede estar de pie para la cardinalidad de todos los conjuntos infinitos, y por lo $2^\infty$ es de sentido en el conjunto de la teoría de contexto; tenemos que ser mucho más preciso. (Tenga en cuenta, también, que no hay mayor infinito número cardinal. Dado cualquier conjunto $A$, el poder establecer $\mathcal{P} (A)$ puede ser demostrado tener estrictamente mayor cardinalidad; este es un hecho conocido como el Cantor del Teorema.)

Answer 3

$\mathbb N$ $\aleph_0$ elementos y $2^{\aleph_0}=\mathbf c$ subconjuntos. $\mathbb R$ $\mathbf c$ elementos y $2^{\mathbf c}$ subconjuntos. El símbolo $\infty$ es sólo eso - un símbolo de infinito (como por ejemplo, en $\lim_{n\to\infty}a_n$ o $\sum_{n=0}^\infty a_n$, donde el uso de $\aleph_0$ o $\omega$ simplemente estar equivocado), no una denotación de las necesidades de la cardinalidad. Así que si nada en absoluto, $\infty$ es un especial elemento añadido (en primer lugar) a $\mathbb N$ para topológico de la terminación, no un (natural, real, cardinales, ordinales).

Answer 4

No, No se $2^{\infty}$ subconjuntos, tiene diferentes cardinalidad de a $\infty$ subconjuntos. El poder de conjuntos de conjuntos infinitos tienen un mayor cardinalidad que el conjunto original.