Demostrar que, si $p \in \mathbb{N}, p>5$, p prime

Question

Probar esto:

Hipótesis

Deje $p \in \mathbb{N}, p>5$, p primer fin de que $p | (2^q + 3^q)$ donde $q \in \mathbb{N}$, $q$ prime.

Conclusión

$p>q$

Ni idea de cómo empezar...

Answer 1

El caso de $q=2$ es obvia. Así que supongo que $q$ es una extraña prime.

Si $p$ divide $2^q+3^q$,$3^q\equiv (-2)^q\pmod{p}$. Desde $p\ne 2$, multiplicando por la inversa de la $a$ $-2$ modulo $p$, obtenemos $(3a)^q\equiv 1\pmod{p}$. De modo que el orden de $3a$ modulo $p$ divide $q$. Desde $q$ es primo, el orden es $1$ o $q$.

Si $3a\not\equiv 1\pmod{p}$, $3a$ orden $q$. Por lo tanto $q$ divide $p-1$, y por lo tanto $q\lt p$.

Bajo qué condiciones es $3a\equiv 1\pmod{p}$? Debemos tener ese $3\equiv -2\pmod{p}$, lo que significa que $p=5$.