Resolver la ecuación funcional $2f(x)=f(ax)$ algunos $a$.

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente ecuación funcional, y podría utilizar un poco de ayuda.$$ 2f(x)=f(ax)$$

Para algunos $a\in\mathbb{R}$. Por repetir la adición de $2f(x)$ juntos nos damos cuenta de que $$2nf(x)=f(a^nx).$$

También se $$2mf(a^{-m}x)=f(x)\Rightarrow \frac{1}{2m}f(x)=f(a^{-m}x).$$

Juntar todas las piezas que tengo para todos $m,n\in\mathbb{N}$, $$\frac{n}{m}f(x)=\frac{2n}{2m}f(x)=f(a^{n-m}x)$$

Estoy segura de cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Yo sólo dan algunos consejos para el caso $a>0$, $a\not =1$, y $f$ definido en $I=]0,+\infty[$.

Poner $\displaystyle g(x)=\exp(-x\log 2)f(\exp(x\log a))$. A continuación, mostrar que $f(au)=2f(u)$ todos los $u>0$ es equivalente a $g(x+1)=g(x)$ todos los $x\in \mathbb{R}$. Por lo tanto obtenemos que las soluciones son las funciones $f$ de la forma $\displaystyle f(x)=g(\frac{\log x}{\log a})\exp(\frac{x\log2}{\log a})$ cualquier $g$, periódico de período de $1$$\mathbb{R}$.

Answer 2

Caso $1$: $a=0$

A continuación, $2f(x)=f(0)$

$f(x)=0$

Caso $2$: $a=1$

A continuación, $2f(x)=f(x)$

$f(x)=0$

Caso $3$: $a>0$ y $a\neq1$

A continuación, $f(ax)=2f(x)$

$f(aa^x)=2f(a^x)$

$f(a^{x+1})=2f(a^x)$

$f(a^x)=\Theta(x)2^x$ donde $\Theta(x)$ es arbitraria función periódica con período de la unidad de

$f(x)=\Theta(\log_ax)x^{\log_a2}$ donde $\Theta(x)$ es arbitraria función periódica con período de la unidad de

Caso $4$: $a=-1$

A continuación, $2f(x)=f(-x)$

Deje $f(x)=2^{g(x)}$ ,

A continuación, $2^{g(x)+1}=2^{g(-x)}$

$g(x)+1=g(-x)$

$g(-x)-g(x)=1$

Caso $5$: $a<0$ y $a\neq-1$

A continuación, $f(ax)=2f(x)$

$f(a^2x)=2f(ax)=4f(x)$

$f((-a)^2x)=4f(x)$

$f((-a)^2(-a)^x)=4f((-a)^x)$

$f((-a)^{x+2})=4f((-a)^x)$

$f((-a)^x)=\Theta(x)2^x$ donde $\Theta(x)$ es arbitraria función periódica con período de $2$

$f(x)=\Theta(\log_{-a}x)x^{\log_{-a}2}$ donde $\Theta(x)$ es arbitraria función periódica con período de $2$