Caracterización de los nilpotentes en un anillo por una propiedad universal

Question

Esta es de nuevo una pregunta que me hizo este usuario . Al parecer, dejó de usar MO debido a una época de mucho trabajo en la vida personal y profesional y las consiguientes dificultades para pasar tiempo aquí con paciencia. Me tomo la libertad de preguntarle yo mismo(con permiso) ya que considero que él y sus preguntas son de valor.

Dejemos que $A$ sea un anillo unitario (es decir, un anillo con identidad), $a \in A$ sea tal que para todos los homomorfismos de anillo $f : A \rightarrow B$ , $B$ un anillo unitario distinto de cero, $f (a)$ no es una unidad en $B$ .

[Una unidad en un anillo unitario es un elemento invertible tanto a la derecha como a la izquierda].

¿Se deduce que $a$ es nilpotente?

[en particular, $f(a)$ no es invertible ni a la izquierda ni a la derecha para todo $f : A \rightarrow B \neq 0$ .]

Una versión más débil puede ser, si $a \in A$ es tal que $f (a)$ no es invertible ni a la izquierda ni a la derecha para todo $f : A \rightarrow B \neq 0$ implican que $a$ es un elemento nilpotente?

Answer 1

Dejemos que $e \in A$ sea un idempotente no nulo (y por tanto no nilpotente).
Entonces, si $f(e)$ es una unidad, encontramos que $f(e) = 1,$ y así $f(e - 1) = 0.$ Por lo tanto, si $e - 1$ genera (como ideal de dos lados) todo el anillo anillo, encontramos que $f$ es idénticamente cero, y por lo tanto que $B = 0$ .

Así, si podemos encontrar un idempotente no nulo $e \in A$ tal que $A(1-e)A = A$ , tenemos un contraejemplo.

Tenga en cuenta, por cierto, que $f: = 1 - e$ es de nuevo idempotente, por lo que basta en su lugar encontrar un idempotente no unital $f$ tal que $A f A = A$ .

Por ejemplo, si $A$ es simple (de modo que cualquier ideal de dos lados no nulo es igual a $A$ ), cualquier idempotente no unital y idempotente no nulo da un contraejemplo.

Por ejemplo, si $A = M_2(k)$ para algún campo $k$ y $f = (1 0 , 0 0)$ hemos terminado. (Creo que que esto es lo que Kevin pretendía escribir en su comentario).

Answer 2

(Reformulado) Si $R$ es un anillo, vamos a $J_R$ ser su Jacobson radical, vamos a $N_R$ el conjunto de nilpotent elementos de $R$ (que es un ideal al $R$ es conmutativa) y deje $K_R$ el conjunto de elementos de la $r$ en el anillo de $R$ tal que $f(r)$ no es una unidad para todos los morfismos $f:R\to S$. Desde el anillo de homomorphisms preservar el Jacobson radical, $J_R\subseteq K_R$, e $N_R\subseteq J_R$. Ya que en general $N_R\subsetneq J_R$, llegamos a la conclusión de que, en general,$N_R\subsetneq K_R$.

Answer 3

EDIT: Ahora tiene una oportunidad de tener sentido.

Creo que la equivalencia

"todo homomorfismo de anillo unital $A\to B$ con $B\neq 0$ mapas $a$ a una unidad no $\Longleftrightarrow$ $a$ es nilpotente"

no puede ser cierto (aunque $\Longleftarrow$ se mantiene, por supuesto). De lo contrario, se produciría que siempre que $a$ es nilpotente, entonces también lo es $ua$ para cualquier unidad $u$ de $A$ , pero esto no se satisface en el anillo $\mathbb{Z}\left\langle X,Y,Z\right\rangle / \left(X^2,YZ-1,ZY-1\right)$ (el ideal es de dos caras). El contraejemplo es $u=Y$ , $a=X$ , $v=1$ (mientras $a=X$ es nilpotente, $ua=YX$ no lo es).

El mismo contraejemplo demuestra que

"todo homomorfismo de anillo unital $A\to B$ con $B\neq 0$ mapas $a$ a un elemento no invertible a la izquierda ni a la derecha $\Longleftrightarrow$ $a$ es nilpotente"

debe estar equivocado.