Cálculo numérico de la $n^{\mathrm {th}}$ derivada de una función multivariante

Question

A partir de una función multivariante $f$ , en función de $n\geq 1$ variables, que se puede calcular numéricamente, pero que no admite una expresión analítica simple, me gustaría aproximar numéricamente la cantidad: $$ \frac{\partial^n f}{\partial x_1...\partial x_n}(x_1,...,x_n)$$ utilizando, por ejemplo, diferencias finitas.

Intuitivamente, utilizando diferencias finitas, procedería así: Dejemos que ( $e_1,...,e_n$ ) sea la base canónica de $\mathbb{R}^n$ y que $h\in\mathbb{R}_+^*$ ser un número pequeño. Si $n = 1$ (función univariante); calcularía: $$ \frac{\partial f}{\partial x_1}(x) \approx \frac{f(x + h e_1) - f(x - h e_1)}{2h}$$ Ahora, si $n = 2$ (función multivariante con 2 variables), calcularía: $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}(x) \approx \frac{(f(x + h e_1 + h e_2) - f(x + h e_1 - h e_2)) - (f(x - h e_1 + h e_2) - f(x - h e_1 - h e_2))}{(2h)^2}$$ y así sucesivamente para los más grandes $n$ . Mi problema es que esta aproximación implica $2^n$ términos, lo cual es engorroso para los grandes $n$ . ¿Alguien conoce algún procedimiento / referencia para obtener una buena aproximación sin computar tanto como $2^n$ evaluaciones de $f$ ¿o no tiene remedio?

Answer 1

Realmente depende de la estructura de su función. Por ejemplo, para una cópula arquimédica, se necesita $O(n^2)$ para las cópulas arquimedianas anidadas se puede calcular esta derivada con un esfuerzo de aproximadamente $O(n^4)$ operaciones.

Las palabras clave son "derivada cruzada" y "descomposición anova", esta última con el objetivo de aproximar la función por una suma de términos en pocas variables.