Cuántos triples de no negativo $\lbrace{x,y,z\mid x,y,z\in \mathbb Z\rbrace}$ satisfacer $2x+y+z=16$?

Question

Considere la posibilidad de $$2x+y+z=16$$ how many distinct, non-negative triples of $\lbrace{x,y,z)|x,y,z\in \mathbb Z\rbrace}$ hay que satisfagan la ecuación?

Supuse que en esta pregunta, el papel de la combinatoria juegan un papel vital, así que pensé en este orden: si los triples no tiene que ser distinta, no sería $16$ opciones la primera vez que un número es elegido, $16$ la segunda vez que un número es elegido, y $16$ la tercera vez que un número es elegido, por lo tanto, hay $16^3$ permutaciones donde la repetición es permitido.

Entonces, cuando la repetición no está permitido, la primera vez que un número es elegida $16$ opciones, entonces no se $15$ opciones y, a continuación,$14$, pero a partir de aquí no otro número es elegido, así que suponiendo que no se $16!$ permutaciones sin sentido. Por lo tanto, el resto de los $13!$ permutaciones deben ser descontados, por lo tanto, hay $\displaystyle \frac{16!}{(16-3)!}$ permutaciones cuando la repetición no está permitido.

Así que ¿esto implica que hay $3360$ posible triples? Esto es más o menos donde me encontré con el error en mi lógica:

Cuando el primer número es elegido, no hay en realidad $15$ restante números para elegir. Porque digamos por ejemplo que usted elija $y$$16$, $x$ $z$ debe $0$, es decir, solo hay una opción, una vez que el primer número ha sido elegido, y una opción una vez que el segundo número se ha elegido. Pero, ¿y si nos vamos a $x=9$? Bueno, esto no funciona en absoluto como cuando $x=9$, $2x=18$, lo que significa que no hay valores negativos de $y,z$ que puede satisfacer la ecuación, por lo tanto $x$ hecho tiene su propio rango; $0 \leq x \leq 8$

Más o menos aquí yo de dejar de lado la combinatoria enfoque y supone una muy planteamiento básico: listado de valores. Dado que el $x$ tiene el menor rango de cada una de las variables, dejo $x$ ser la variable independiente y $y,z$ ser el dependiente de variables:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\\hline y & 0\leq y \leq 16 & 0 \leq y \leq 14 & 0 \leq y \leq 12 & 0 \leq y \leq 10 & 0 \leq y \leq 8 & 0 \leq y \leq 6 & 0 \leq y \leq 4 & 0 \leq y \leq 2 & y=0 \\\hline z & 0\leq z \leq 16 & 0 \leq z \leq 14 & 0 \leq z \leq 12 & 0 \leq z \leq 10 & 0 \leq z \leq 8 & 0 \leq z \leq 6 & 0 \leq z \leq 4 & 0 \leq z \leq 2 & z=0\\\hline T & 17 & 15 & 13 & 11 & 9 & 7 & 5 & 3 & 1\\\hline \end{array}

(Nota; un requisito en cada entrada es que $y+z=16-2x$. También; el $T$ en la fila inferior indica el número total de permutaciones proporciona todas las condiciones, incluyendo el requisito previo, se cumplen)

A partir de la tabla, el número total de distinto, no negativos triples de $\lbrace{x,y,z|x,y,z\in\mathbb Z\rbrace}$ que satisfacen la ecuación de $2x+y+z=16$ es un mero $81$.

De todo lo que acabo de leer, solo tengo dos preguntas: la primera es, obviamente, es esta la respuesta correcta, y la segunda de las cuales es, sin duda, más obviamente, ¿cómo puede lo que he escrito se expresa matemáticamente proporcionada es correcta?

Las respuestas son muy apreciados, gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $y + z$ debe ser par. Por lo tanto, $y$ $z$ son tanto o incluso a un extraño.

Cuando ambos estaban aún (decir $y = 2c_1$$z = 2c_2$), la ecuación se reduce a $x + c_1 + c_2 = 8$. El número de entero no negativo que las soluciones en este caso es $\binom{10}{8}$. Cuando ambos son impares (decir $y = 2c_1 + 1$$z = 2c_2 + 1$), la ecuación se reduce a $x + c_1 + c_2 = 7$. El número de entero no negativo que las soluciones en este caso es $\binom{9}{7}$.

Por lo tanto, obtenemos un total de $\binom{10}{8} + \binom{9}{7} = 81$ soluciones.

Answer 2

podemos utilizar la generación de función para encontrar el número de soluciones para el problema que usted ha expresado.

Es que usted tendrá que encontrar el coeficiente de $x^{16}$ en los siguientes productos de g.f

$(1+x^2+x^4+..)(1+x+x^2+x^3+...)^2$

El número de soluciones es $\boxed{81}$

Answer 3

Más en general, la ecuación de $y+z=2n-2x$ $2n-2x+1$ no negativo soluciones para todos los $x=0,1,\dots, n$. Por lo tanto el número de las soluciones negativas no es $\sum_{x=0}^n(2n+1-2x)$, que es la suma de todos los números impares en el intervalo de $[1,2n+1]$ que es igual a $(n+1)^2$.

Answer 4

Para $x=0$ , y los posibles valores de $y$$0$$16$, lo $17$ valores posibles.

Para $x=1$ , y los posibles valores de $y$$0$$14$, lo $15$ valores posibles.

$\cdots$

Para $x=8$ , y los posibles valores de $y$$0$$0$, lo $1$ valor posible.

En total , hay $$1+3+5+7+9+11+13+15+17=\color\red{81}$$ distintas triples.