Cómo saber cuando una suma puede ser sustituida por una integral?

Question

Soy un químico leyendo un poco de la física. Yo sé muy poco de matemáticas, como se verá. Aquí tenemos una suma:

$$Q=\Large\sum_{x=1}^\infty x e^{-\beta E_x}$$ donde $\beta$ es una constante.

Pregunta

¿Cómo se puede entender matemáticamente si la suma puede ser sustituida por una integral?

Answer 1

Bueno por lo que se puede ver un resumen como una aproximación de una integral usando barras de anchura $1$. Por ejemplo, podríamos calcular la integral de $\sqrt{x}$ $2$ $7$observando

de modo que pudiéramos $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{6}$ y nos gustaría una buena aproximación de la integral de la $$\int_2^7\sqrt{x}\text{d}x$$ Usted ve, si el gráfico es muy pronunciada, la diferencia en el método, con las barras y el real de la integral se vuelve muy grande, pero si el gráfico es casi horizontal, la integral y las barras método (generalmente se llama Suma de Riemann, por cierto) es muy pequeña. Básicamente, su primera suma se puede convertir en una integral debido a que la diferencia entre los dos bares vecinos, expresando la pendiente de la gráfica, es muy pequeña.

Answer 2

No se dan detalles de los sistemas.

Supongo que la primera es la partícula en una dimensión caja, y el $m$ $L$ son para que $$\frac{h^2}{8mL^2} \ll \frac{1}{\beta}$$ mientras que en el segundo sistema, $h \nu$ no es mucho menor que $1/\beta$.