¿Cuando es el producto del cociente de dos mapas mapa de cociente?

Question

En general no es cierto que el producto de dos mapas de cociente es un mapa del cociente (no conozco ningún ejemplo aunque).

¿Son cualquier verdad de declaraciones más débil? ¿Por ejemplo, si $X, Y, Z$ espacios y $f : X \to Y$ es un mapa del cociente, es cierto que $ f \times {\rm id} : X \times Z \to Y \times Z$ es un mapa del cociente?

Answer 1

Su declaración más débil es casi cierto.

Si $f: X \to Y$ es un mapa del cociente y $Z$ es localmente compacto, entonces el $f \times \operatorname{id}$ es un mapa del cociente. Creo que este resultado es debido a Whitehead.

Más generalmente, si $f: X \to Y$ y $g: Z \to W$ son mapas de cociente y $Y$ $Z$ es localmente compacto, y el producto $f \times g: X \times Z \to Y \times W$ es un mapa del cociente.

¿Por qué? Utilizar el teorema de Whitehead dos veces, desde $f \times g = (\operatorname{id} \times g) \circ (f \times \operatorname{id})$.

Ver Munkres $\S 22$ de contraejemplos.

Answer 2

@Ittay: En un cartesiana cerrada categoría de espacios, un producto de la identificación de los mapas es una identificación del mapa. Aquí es una típica prueba, esencialmente a partir de la Topología y de Groupoids p. 192.

Basta probar que si $f:Y \to Z$ es una identificación del mapa, entonces también lo es $f \times 1: Y \times X \to Z \times X$ cualquier $X$.

Deje $g:Z \times X \to W$ ser una función tal que $l=g(f \times 1):Y \times X \to W$ es continua. Por cartesiano closedness, que hemos asociado mapas

$$ l': Y \to K(X,W), \quad g':Z \to K(X,W)$$

donde $K(X,W)$ es el interior de la casa, y $g'f=l'$. Desde $l'$ es continua, y $f$ es una identificación del mapa, a continuación, $g'$ es continua. Por lo tanto $g$ es continua.

Answer 3

En la categoría de espacios compacto generados, creo que el producto de mapas de cociente es (siempre) un mapa del cociente.

Answer 4

Si el cociente mapas $p : W \rightarrow X, q:Y \rightarrow Z$ está abierto, entonces el mapa de producto es también un mapa del cociente:

$U\times V$ abierto en $X \times Y \implies p^{-1}U\times q^{-1}{V} = (p\times q)^{-1}(U\times V)$ abierto.

Por el contrario, $U\times V = (p\times q)(\dots) = p\circ p^{-1}U\times q\circ q^{-1}V$ está abierto desde $p,q$ están abiertos todos los mapas.

Answer 5

Hay otro ejemplo que aprendido del ejercicio 16, sección 2.2 de topología algebraica por Tammo Tom Dieck. Esto es:

Que $X$ ser un espacio topológico y un subespacio compacto de $A$ $X$. Denotar el cociente mapa $p:X \to X/A$. Entonces $ p \times id_Y : X \times Y \to X/A \times Y$ es un mapa del cociente para cualquier espacio arbitrario $Y$.