Grupo de acciones en la clásica teoría de campo.
Vamos a una teoría clásica de los campos de $\Phi:M\to V$ ser dado, donde $M$ es una `base" colector y $V$ es de tiro espacio, que, por el bien de la simplicidad y la claridad pedagógica, nos llevan a ser un espacio vectorial. Deje $\mathscr F$ denota el conjunto de los admisible configuraciones del campo, es decir, el conjunto de admisible funciones de $\Phi:M\to V$, lo que consideramos que en la teoría.
En un determinado campo de la teoría, a menudo consideramos una acción de un grupo de $G$ en el conjunto de $\mathscr F$ de configuraciones del campo en el que se especifica cómo se `transforman" en virtud de los elementos del grupo. Vamos a llamar a este grupo de acción $\rho_\mathscr F$, lo $\rho_\mathscr F$ es un grupo homomorphism elementos de mapeo $g\in G$ a bijections $\rho_\mathscr F(g):\mathscr F \to \mathscr F$. Otra forma de decir esto es que
\begin{align}
\rho_{\mathscr F}:G\to \mathrm{Sym}(\mathscr F)
\end{align}
donde $\mathrm{Sym}(\mathscr F)$ es simplemente el grupo de bijections asignación de $\mathscr F$ a sí mismo.
Ahora, también a menudo ocurre que podemos escribir como un grupo de acción en términos de otras dos acciones del grupo. La primera de estas es una acción de $ G$$ M$, es decir, una acción del grupo sobre la base de colector en la que el campo de las configuraciones definidas. La segunda es una acción de $G$$V$, es decir, una acción del grupo sobre el destino del espacio de las configuraciones del campo. Deje que la primera se denota $\rho_M$ y el segundo $\rho_V$, de forma tan explícita
\begin{align}
\rho_M &: G \to \mathrm{Sym}(M)\\
\rho_V &: G \to \mathrm{Sym}{V}.
\end{align}
De hecho, generalmente el grupo de acción $\rho_\mathscr F$ está escrito en términos de $\rho_M$ $\rho_V$ como sigue:
\begin{align}
\rho_{\mathscr F}(g)(\Phi)(x) = \rho_V(g)(\Phi(\rho_M(g)^{-1}(x))), \tag{%#%#%}
\end{align}
o bien, escribiendo esto en un tal vez de forma más clara que evita tantos paréntesis,
\begin{align}
\rho_\mathscr F(g)(\Phi) = \rho_V(g)\circ \Phi \circ \rho_M(g)^{-1}.
\end{align}
La toma de contacto con Di Francesco et. al.'s notación - parte 1
Para hacer contacto con Di Francesco la notación, aviso que si usamos la notación $\star$ para una transformación de la base del colector de punto, $x'$ para el objetivo del espacio de acción del grupo, y $\mathcal F$ para la transformada de configuración en el campo, es decir, si usamos el shorthands
\begin{align}
x' = \rho_M(g)(x), \qquad \rho_V(g) = \mathcal F, \qquad \Phi' = \rho_\mathscr F(g)(\Phi),
\end{align}
a continuación, ( $\Phi'$ ) puede ser escrita de la siguiente manera:
\begin{align}
\Phi'(x') = \mathcal F(\Phi(x)).
\end{align}
que es precisamente la ecuación de 2.114 en Di Francesco
Mentira grupo de acciones y generadores infinitesimales.
Ahora, supongamos que el $\star$ es una matriz de Lie de un grupo con la Mentira de álgebra $G$. Deje $\mathfrak g$ ser una base para $\{X_a\}$, entonces cualquier elemento de $\mathfrak g$ puede ser escrito como $X\in\mathfrak g$ (implícita suma) para algunos números de $\omega_aX_a$. Por otra parte, $\omega_a$ es un elemento de la Mentira de grupo $e^{-i\epsilon\omega_aX_a}$ por cada $G$. En particular, observe que podemos ampliar la exponencial acerca de $\epsilon\in\mathbb R$ obtener
\begin{align}
e^{-i\epsilon\omega_aX_a} = I_G - i\epsilon\omega_aX_a + O(\epsilon^2).
\end{align}
donde $\epsilon = 0$ es la identidad en $I_G$. Por lo que el $G$ son los generadores infinitesimales de este exponencial de la asignación. Observe que los generadores son precisamente la base de los elementos que elegimos para el álgebra de la Mentira. Si hemos elegido una base diferente, generadores, habría sido diferente. Pero ahora, supongamos que tenemos de evaluar las acciones del grupo $X_a$ sobre un elemento de $\rho_\mathscr F, \rho_M, \rho_V$ escrito de esta forma, a continuación, vamos a encontrar que no existe funciones de $G$ para los que
\begin{align}
\rho_\mathscr F(e^{-i\epsilon\omega_aX_a}) &= I_\mathscr F -i\epsilon\omega_a G_a^{(\mathscr F)} + O(\epsilon^2) \\
\rho_M(e^{-i\epsilon\omega_aX_a}) &= I_M -i\epsilon\omega_a G_a^{( M)} + O(\epsilon^2) \\
\rho_V(e^{-i\epsilon\omega_aX_a}) &= I_V -i\epsilon\omega_a G_a^{(V )} + O(\epsilon^2),
\end{align}
y estas funciones $G_a^{(\mathscr F)}, G_a^{(M)}, G_a^{(V)}$ son, por definición, el infinitesimal generadores de estas tres acciones del grupo. Aviso, de nuevo, que los generadores obtenemos depende de la base elegida para la Mentira álgebra $G_a$.
La toma de contacto con Di Francesco et. al.'s notación - parte 2
Di Francesco simplemente utiliza las siguientes notaciones:
\begin{align}
G_a^{(\mathscr F)} = G_a, \qquad G_a^{(M)}(x) = i \frac{\delta x}{\delta \omega_a}, \qquad G_a^{(V)}(\Phi(x)) = i\frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a}(x).
\end{align}
Usted no desea que los autores puedan explicar esto mejor? ;)
Ejemplo. Lorentz campo de vectores.
Como un ejemplo, considere la posibilidad de una teoría de campos que contienen un Lorentz campo de vectores $\mathfrak g$. A continuación, la base del colector $A$ sería el espacio de Minkowski, el grupo $M$ sería el grupo de Lorentz,
\begin{align}
M = \mathbb R^{3,1}, \qquad G = \mathrm{SO}(3,1),
\end{align}
y el grupo de acciones se definirán de la siguiente manera para cada una de las $G$:
\begin{align}
\rho_M(\Lambda)(x) &= \Lambda x \\
\rho_V(\Lambda)(A(x)) &= \Lambda A(x) \\
\rho_\mathscr F(\Lambda)(A)(x) &= \Lambda A(\Lambda^{-1}x).
\end{align}
