El mayor de los números dados

Question

Para averiguar el mayor entre el número que se da a continuación:

$3^{1/3}, 2^{1/2}, 6^{1/6}, 1, 7^{1/7}$

He trazado la siguiente gráfica utilizando trazador gráfico que se muestra a continuación:

Se puede concluir que el $3^{1/3}$ es el más grande. Quiero saber que hay algún otro método para encontrar mayor entre los dichos números.

Answer 1

Tomar lcm$(3,2,6,7)=42$

Tenemos que comprobar para $3^{1/3},2^{1/2},6^{1/6},7^{1/7}$

de forma equivalente, tomando $42$nd poder de cada una de las $3^{14},2^{21},6^7,7^6$

Ahora $2^3<3^2\iff(2^3)^7<(3^2)^7$

De nuevo, $3^{14}-6^7=3^7(3^7-2^7)>0$

y, finalmente, $3^7>3^6=729>343=7^3\implies(3^7)^2>(7^3)^2$

Answer 2

también puede obtener el resultado por el Álgebra: $$3^{1/3}>2^{1/2}$$ powering by $6$ we get $$9>8$$, $$3^{1/3}>6^{1/6}$$ powering by $$6$$ we get $$9>6$$ $$3^{1/3}>1$$ is clear, and $$3^{1/3}>7^{1/7}$$ powering by $21$ gives $$3^7>7^3$$ this is true since $$2187>343$$

Answer 3

Deje $f(x)=x^{\frac 1x}$$x\gt 0$. Entonces, tenemos $$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\cdot x^{\frac 1x}$$ Por lo tanto, $f(x)$ es el aumento de $0\lt x\lt e$, y la disminución de $x\gt e$.

Así, sólo se necesita comparar el $f(2)$$f(3)$. Ahora tenga en cuenta que $f(3)\gt f(4)=f(2)$.

Answer 4

supongamos que la secuencia de $a_n=\sqrt[n]{n}$
es fácil ver que $a_n$ converge a $1$ ahora no se que $a_3 $es el más grande $$a_1=1 ,a_2=\sqrt{2} ,a_3=\sqrt[3]{3} ,a_4=\sqrt[4]{4} ,a_5=\sqrt[5]{5} ,... $$ vamos a ver de nuevo : $$a_1=1 ,{\color{Red} {a_2=\sqrt{2}}} ,a_3=\sqrt[3]{3} ,{\color{Red}{a_4=\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}}} ,a_5=\sqrt[5]{5} ,... $$ it means $$1=a_1 <a_2 <{\color{Red} {a_3}} >a_4>a_5 >... \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n}=1\\because \\a_2=a_4$$

$$a_2>a_1 ,\sqrt{2}=1.41 >1\\a_3>a_2 :\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{3^2} >\sqrt[2]{2}=\sqrt[6]{2^3}\\a_2=a_4$$ until now $a_3$ es mayor
$$a_3 >a_6 :becuase :\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9} >\sqrt[6]{6}=a_6 $$ $$a_3 >a_7 :becuase :\sqrt[3]{3}=\sqrt[21]{3^7} >\sqrt[21]{7^3}=a_7 $$ it seems $a_3$ es el máximo