Si $σ^2$ es el mapa de identidad de$G$$G$, demuestran que, a $G$ es abelian.

Question

Deje $G$ ser un grupo finito, que posee un automorphism $σ$ tal que $σ(g)=g$ si y sólo si $g=1$. Si $σ^2$ es el mapa de identidad de$G$$G$, demuestran que, a $G$ es abelian.

Esto es lo que tengo

Deje $G$ ser un grupo finito, que posee un automorphism $σ$ tal que $σ(g)=g$ si y sólo si $g=1$. Suponga que $σ^2$ es el mapa de identidad de$G$$G$, vamos a mostrar que el $G $es abelian. Deje $g,h∈G$, ya que el $σ^2$ es el mapa de identidad de $G$ $G$

$σ^2 (g)=g$

$σ^2 (h)=h$

Y

$σ^2 (gh)=gh=σ^2 (g) σ^2 (h)$

Desde $σ∈Aut(G)$, $σ$ es isomorfismo (homophism y bijective) , por lo $σ(gh)=σ(g)σ(h)=gh$. Por lo tanto, $gh=1=hg$. Por lo tanto, $G$ es abelian.

Hice correctamente, sigo sintiendo que me perdí de algo.

Answer 1

Sugerencias:

$$\forall\,x,y,\in G\;,\;\;x^{-1}\sigma(x)=y^{-1}\sigma(y)\implies yx^{-1}=\sigma(y)\sigma(x)^{-1}=\sigma(yx^{-1})\stackrel{\text{given!}}\iff x=y$$

Por lo tanto, el mapa de $\;x\mapsto x^{-1}\sigma(x)\;$ es bijective (por qué?) y así

$$\forall a\in G\;\exists\,x_a\in G\;\;s.t.\;\; a=x_a^{-1}\sigma(x_a)$$

Trate de tomar de aquí...y recuerda: si $\;a\mapsto a^{-1}\;$ es un homomorphism, a continuación, $\;G\;$ es abelian ...