La secuencia exacta de $A$-módulos

Question

Yo estaba tratando de demostrar la Proposición 2.9 de Atiyah y MacDonald Introducción al Álgebra Conmutativa. Pero yo no podía hacer lo siguiente:

Vamos $M$, $M'$, y $M''$ $A$- módulos, $v$ $u$ ser homomorphisms, y $$0 \longrightarrow\operatorname{Hom}(M'',N) \stackrel{\bar{v}}\longrightarrow\operatorname{Hom}(M,N) \stackrel{\bar{u}}\longrightarrow\operatorname{Hom}(M',N)$$ ser una secuencia exacta para todos los $A$-módulo de $N$. A continuación, la secuencia $$M' \stackrel{u}\longrightarrow M \stackrel{v}\longrightarrow M'' \longrightarrow 0$$ es exacto. Aquí, $\bar{v}(f)=f\circ v$$\bar{u}(g)=g\circ u$.

Supongo que hay un determinado módulo a-N que tiene este, pero no lo pude encontrar.

Alguien me puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Va a encontrar varias soluciones en los comentarios y en algunos libros, pero en realidad la declaración es, de un "superior" a la perspectiva, casi la definición de una secuencia exacta. Permítanme explicar esto.

Por definición, $M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M'' \to 0$ es exacta iff $v$ es surjective y $\mathrm{im}(u)=\mathrm{ker}(v)$. Esto significa, equivalentemente, que el $v$ induce un isomorfismo $\mathrm{coker}(u)=M/\mathrm{im}(u) \cong M''$. Ahora, cokernels tienen una característica universal, y es un hecho general de que los objetos están determinadas por su característica universal (Yoneda Lema). Por lo tanto, $M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M'' \to 0$ es exacta iff $v$ es un cokernel de $u$, lo que significa que $vu=0$, y para todos los morfismos $M \to T$ que desaparecen cuando se compone con $u$ hay una única factorización $v$. Pero esto exactamente significa que $0 \to \hom(M'',T) \to \hom(M',T) \to \hom(M,T)$ es exacta para todos los $T$.

Del mismo modo, una secuencia $0 \to M'' \to M' \to M$ es exacta iff $M'' \to M'$ es un núcleo de $M' \to M$ fib $0 \to \hom(T,M'') \to \hom(T,M') \to \hom(T,M)$ es exacta para todos los $T$.

(Cuando quieres demostrar que este directamente, usted sólo tiene que repetir la prueba de la Yoneda Lema en un caso especial; esto sucede todo el tiempo, por categoría de principios teóricos son casi ignorado en la enseñanza...)